A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. a) A jegyű számok és közé esnek, az alsó határt is megengedve. Ezért, ha a kérdéses szám léteznék, akkor teljesülne rá: Mindhárom szám -es alapú logaritmusát véve, majd -cal (vagyis pozitív számmal) osztva mert -nél nagyobb logaritmus alapszám esetén nagyobb szám logaritmusa nagyobb. Írjuk (2)-t tizedes tört alakban, tízezredrészekre kerekítve, éspedig az alsó korlát esetében lefelé, a felső korlát esetében fölfelé: Ennek azonban egész szám nem tesz eleget, mert az alsó korlát nagyobb, mint logaritmusa, a felső korlát pedig kisebb, mint logaritmusa, és e két szám között nincs egész szám. Ezzel az állítást bebizonyítottuk. b) Az a) rész meggondolásához hasonlóan akkor nincs jegyű 58. hatvány, ha a számközbe egy természetes szám logaritmusa sem esik. Ez esetben ez az hosszúságú intervallum két szomszédos természetes szám logaritmusa közt van, így azok különbsége nagyobb, mint . A logaritmus görbét nézte azonban azt várjuk, hogy elég nagy természetes számokra két szomszédos természetes szám logaritmusa mindig -nál kevesebbel különbözik. Ezt be is fogjuk bizonyítani. A szóban forgó | | különbség növekedésével csökken, mert csökken, és kisebb szám logaritmusa kisebb. Keressük, milyen -ekre lesz -nál kisebb. Ez biztosan teljesül, ha az -nál kisebb -nél is kisebb: | | A jobb oldali szám kisebb, mint , mert | |
Eszerint csak -nél kisebb szám és a rákövetkezője közé eshet (3) alakú intervallum, annak felső határa tehát nem nagyobb, mint . | | így legfeljebb lehet, ennél nagyobb szám tehát nem írható helyébe.
Nagy Péter Tibor (Kiskunhalas, Szilády Á. g. IV. o. t.) Megjegyzések. 1. Megfordítva megadhatjuk, hány -nél nagyobb egész szám felel meg az a) állításban helyén. (3)-ban -et véve a intervallumba csak az egész számok logaritmusai esnek ( a -gyel adódó intervallum bal végpontjába). Mindegyik logaritmus más intervallumba esik, mert még . Eszerint intervallumba nem esik logaritmus, az ezekhez tartozó és a -től különböző értékeket téve helyére, az állítás helyes marad. 2. Több dolgozatról az látszik, hogy a versenyző összetévesztette az ,,akárhány'' és a ,,bármely'' szavakat. II. megoldás. A feladat állítása úgy is fogalmazható, hogy van olyan természetes szám, amelynek az 58. hatványa legfeljebb jegyű, de a rá következő -nek az 58. hatványa már legalább jegyű, azaz Mindkét egyenlőtlenséget -re megoldva ez azt jelenti, hogy olyan természetes szám létezését kell belátnunk, amelyre A bal oldali számérték kisebb, mint , a jobb oldali viszont nagyobb, mint , így a keresett szám . Ennek 58. hatványa kisebb, mint , tehát legfeljebb jegyű, viszont -nak az 58. hatványa nagyobb, mint , tehát legalább jegyű. Valóban nincs tehát olyan természetes szám, amelyiknek az 58. hatványa jegyű lenne. Általában helyett azokra a számjegyszámokra igaz, hogy nincs olyan természetes szám, amelynek az 58. hatványa -jegyű, amelyekhez van olyan természetes szám, hogy azaz Ilyen létezéséhez mindenesetre szükséges, hogy az alsó korlát kisebb legyen a felsőnél, azaz teljesüljön
Innen | | tehát csak véges sok értéket vehet fel.
Veres Ferenc (Miskolc, Kilián Gy. g. IV. o. t.) |