Feladat: 1273. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Nagy Péter Tibor ,  Veres Ferenc 
Füzet: 1964/május, 205 - 207. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Logaritmusos egyenlőtlenségek, Paraméteres egyenlőtlenségek, Konstruktív megoldási módszer, Számelmélet alaptétele, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1963/november: 1273. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. a) A 64 jegyű számok 1063 és 1064 közé esnek, az alsó határt is megengedve. Ezért, ha a kérdéses n szám léteznék, akkor teljesülne rá:

1063≤n58<1064.(1)
Mindhárom szám 10-es alapú logaritmusát véve, majd 58-cal (vagyis pozitív számmal) osztva
6358≤lgn<6458,(2)
mert 1-nél nagyobb logaritmus alapszám esetén nagyobb szám logaritmusa nagyobb. Írjuk (2)-t tizedes tört alakban, tízezredrészekre kerekítve, éspedig az alsó korlát esetében lefelé, a felső korlát esetében fölfelé:
1,0862<lgn<1,1035.
Ennek azonban egész szám nem tesz eleget, mert az alsó korlát nagyobb, mint 12,1 logaritmusa, a felső korlát pedig kisebb, mint 12,7 logaritmusa, és e két szám között nincs egész szám. Ezzel az állítást bebizonyítottuk.
b) Az a) rész meggondolásához hasonlóan akkor nincs k jegyű 58. hatvány, ha a
k-158≤x<k58(3)
számközbe egy természetes szám logaritmusa sem esik. Ez esetben ez az 1/58 hosszúságú intervallum két szomszédos természetes szám logaritmusa közt van, így azok különbsége nagyobb, mint 1/58. A logaritmus görbét nézte azonban azt várjuk, hogy elég nagy természetes számokra két szomszédos természetes szám logaritmusa mindig 1/58-nál kevesebbel különbözik. Ezt be is fogjuk bizonyítani. A szóban forgó
d(n)=lg(n+1)-lgn=lgn+1n=lg(1+1n)
különbség n növekedésével csökken, mert 1+1n csökken, és kisebb szám logaritmusa kisebb. Keressük, milyen n-ekre lesz 1/58-nál kisebb. Ez biztosan teljesül, ha az 1/58-nál kisebb 0,0172-nél is kisebb:
lg(1+1n)<0,0172,1+1n<100,0172,n>1100,0172-1.
A jobb oldali szám kisebb, mint 25, mert
100,0172>1,040,így1100,0172-1<10,04=25.

Eszerint csak 25-nél kisebb szám és a rákövetkezője közé eshet (3) alakú intervallum, annak felső határa tehát nem nagyobb, mint lg25.
k58≤lg25,k≤58lg25<58⋅1,398<81,1,
így k legfeljebb 81 lehet, ennél nagyobb szám tehát nem írható 64 helyébe.
 
 Nagy Péter Tibor (Kiskunhalas, Szilády Á. g. IV. o. t.)
 

Megjegyzések. 1. Megfordítva megadhatjuk, hány 1-nél nagyobb egész szám felel meg az a) állításban 64 helyén. (3)-ban k=1,2,...,81-et véve a 81 intervallumba csak az 1,2,3,...,24 egész számok logaritmusai esnek (lg1 a k=1-gyel adódó intervallum bal végpontjába). Mindegyik logaritmus más intervallumba esik, mert még lg25-lg24<1,3980-1,3801=0,0179>1/58. Eszerint 81-24=57 intervallumba nem esik logaritmus, az ezekhez tartozó és a 64-től különböző k értékeket téve 64 helyére, az állítás helyes marad.
2. Több dolgozatról az látszik, hogy a versenyző összetévesztette az ,,akárhány'' és a ,,bármely'' szavakat.
 

II. megoldás. A feladat állítása úgy is fogalmazható, hogy van olyan n természetes szám, amelynek az 58. hatványa legfeljebb 63 jegyű, de a rá következő n+1-nek az 58. hatványa már legalább 65 jegyű, azaz
n58<1063,(n+1)58≥1064.
Mindkét egyenlőtlenséget n-re megoldva ez azt jelenti, hogy olyan természetes szám létezését kell belátnunk, amelyre
106458-1≤n<106358.
A bal oldali számérték kisebb, mint 11,7, a jobb oldali viszont nagyobb, mint 12,1, így a keresett n szám 12. Ennek 58. hatványa kisebb, mint 4⋅1062, tehát legfeljebb 63 jegyű, viszont 13-nak az 58. hatványa nagyobb, mint 4⋅1064, tehát legalább 65 jegyű. Valóban nincs tehát olyan természetes szám, amelyiknek az 58. hatványa 64 jegyű lenne.
Általában 64 helyett azokra a k számjegyszámokra igaz, hogy nincs olyan természetes szám, amelynek az 58. hatványa k-jegyű, amelyekhez van olyan n természetes szám, hogy
n58<10k-1,(n+1)58≥10k,
azaz
10k58-1≤n<10k-158.
Ilyen n létezéséhez mindenesetre szükséges, hogy az alsó korlát kisebb legyen a felsőnél, azaz teljesüljön
10k58-1<10k-158,10k58-10k-158=10k-158(10158-1)<1.


Innen
10k-158<110158-1,k<1+58lg110158-1.
k tehát csak véges sok értéket vehet fel.
 
 Veres Ferenc (Miskolc, Kilián Gy. g. IV. o. t.)