Kezdőlap


Feladat:	1270. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balázs János
Füzet:	1964/november, 123 - 124. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Logikai feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/október: 1270. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. 1. Az a két pár, akiknek az egymásutánját a második tipp eltalálta, nem származhat abból, hogy $3$ versenyző a tipp sorrendjében következett egymás után. Ugyanis ezek így nem végezhettek azokon a helyeken, ahol a tipp említi őket, különben $3$ helyezést tippelt volna helyesen; így viszont a kimaradó $2$ versenyző közül legalább az egyik olyan helyen szerepelne a tippen, ahová a $3$ közül valamelyik került a valóságban, vagyis a tipp legfeljebb $1$ versenyző helyét találta volna el. Eszerint az eltaláló sorrendek csak a következők lehetnek:

\begin{matrix} D A, E C vagy D A, C B vagy A E, C B . \end{matrix}

(1)

2. A két pár közül, akiknek az egymásutánját eltalálta a tipp, legfeljebb az egyiknek találhatta el a helyezését is, és az egyikét el is kellett találnia, mert különben legfeljebb az ötödik versenyző helyezését találta volna el. Nem lehet az (1) alatt felsorolt első esetben

E

és

C

, a harmadikban

A

és

E

az, akiknek a helyezése is megegyezik a tippbelivel, mert akkor a másik pár is csak úgy végezhetett volna egymás után (a megadott sorrendben), ha a tipp szerinti helyen végeztek.
3. Az (1) alatti első esetben így csak

D

A

B

E

C

lehetett volna a tényleges sorrend, de ekkor az

A

B

egymásutánt az első tipp is eltalálta volna. A harmadik esetben pedig

A

-nak az első helyen kellett volna végeznie, az első tippel megegyezően, tehát ez sem szolgáltathatja a tényleges sorrendet. A második esetben nem végezhetett az első pár a tipp szerinti helyen, mert akkor

C

-nek a harmadik helyen kellett volna végeznie az első tippel megegyezően.
Így a helyes sorrend csak

\begin{matrix} E, D, A, C, B \end{matrix}

lehetett, és ez meg is felel a feladat összes feltételeinek.

Balázs János (Balassagyarmat, Szántó Kovács J. g. III. o. t.)

II. megoldás. Tekintsük azokat a lehetőségeket, amelyek az első tippre közölt megállapítások után fennmaradnak

A

, majd hozzá képest

B

helyzetére. Ezek a következők:

\begin{matrix} 1. & B & A & . & . & . & 4. & B & . & A & . & . & 6. & B & . & . & A & . & 8. & B & . & . & . & A \\ 2. & . & A & . & B & . & 5. & . & . & A & . & B & 7. & . & . & B & A & . & 9. & . & . & B & . & A \\ 3. & . & A & . & . & B & 10. & . & . & . & B & A \end{matrix}

Az 1. próbálkozás nem folytatható, mert

C

nem maradhat a III. helyen, de nem is kerülhet sem a IV., sem az V. helyre, mert az első esetben mögéje, a másodikban pedig eléje sem

D

, sem

E

nem kerülhet. A további próbálkozásokból, továbbra is csak az első tippet szem előtt tartva, az alábbi

14

sorrend adódik:

\begin{matrix} 2. a & C & A & E & B & D & 1 & 7. a & C & E & B & A & D & 0 \\ 3. a & D & A & E & C & B & 5 & 7. b & E & C & B & A & D & 0 \\ 3. b & E & A & D & C & B & 3 & 7. c & E & D & B & A & C & 0 \\ 4. a & B & D & A & E & C & 0 & 8. a & B & E & D & C & A & 1 \\ 5. a & D & C & A & E & B & 2 & 1 & 9. a & D & C & B & E & A & 1 \\ 5. b & E & D & A & C & B & 2 & 2 & 10. a & C & E & D & B & A & 0 \\ 6. a & B & E & D & A & C & 0 & 10. b & D & C & E & B & A & 2 & 0 \end{matrix}

Ezekben vizsgáljuk a második tippre nyert közlések teljesülését. Mindegyik sorrend után odaírtuk, hány helyen egyezik a

D A E C B

sorrenddel, továbbá ahol ezt

2

-nek találtuk, ott megszámláltuk a

D A E C B

tippbeliekkel megegyező egymásutánokat. Ezek száma csak

5 b

-ben

2

, tehát a keresett sorrend

E

D

A

C

B