|
Feladat: |
1268. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Berkes István , Deák István , Draskovits Pál , Földes Antónia , Hanák P. , Horváth Jenő , Komor Tamás , Lehel Csaba , Lovász László , Márki László , Marosi Judit , Nagy Klára , Nagy Péter T. , Pelikán József , Rejtő Lídia , Siket Aranka , Szalkai István , Veres Ferenc |
Füzet: |
1964/szeptember,
19 - 20. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Paraméteres egyenletrendszerek, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1963/október: 1268. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Egyszerűen kifejezhetjük -gyel és -vel a többi ismeretleneket: először az (1)-ből -öt, (2)-ből -at, majd ezek felhasználásával (3)-ból -et:
A nyert kifejezéseket (4)-be és (5)-be beírva és 0-ra redukálva az egyenleteket (közben a kínálkozó kiemelési lehetőséggel is élve):
azaz
Vizsgáljuk először azt az esetet, ha Ekkor
azaz
Ebből, ha még is teljesül, (1a), (2a) és (6) alapján következik, hogy Ez nyilván kielégíti az (1)‐(5) egyenleteket. esetén ‐ amikor (9) is teljesül ‐ (11)-et kielégíti bármely szám, ekkor (10), (1a), (2a) és (6)-ból adódik, és ez mellett tetszés szerinti értékre kielégíti az (1)‐(5) egyenletrendszert. Ha vagyis az számok valamelyikével egyenlő, akkor a (7), (8) egyenletrendszert tetszés szerinti , számpár kielégíti, a további három ismeretlen megfelelő értékét pedig (1a), (2a), ill. (6) állítja elő. Mivel a (12) egyenlet gyökeire így a megoldás: | | (13) | A behelyettesítés mutatja, hogy bármely (13) értékrendszer kielégíti az adott egyenletrendszert.
Összefoglalva: ha az paraméter értéke különbözik 2-től, -től és -től, akkor a rendszer egyetlen megoldása ; ha , akkor minden értékrendszer megoldás ( tetszés szerinti szám); ha pedig olyan számmal egyenlő, amelyre , akkor minden olyan | | értékrendszer megoldás, melyben , tetszés szerinti számok (ez természetesen esetén is különbözik az esettől). Draskovits Pál (Budapest, Vörösmarty M. g. IV. o. t.)
Megjegyzés. Néhányan túlzott óvatosságból a (11) egyenlet előállítása után külön tárgyalták az esetet. Erre nem volt szükség, mert (11) ekkor is következménye (7a)-nak és (8a)-nak (ekvivalens (7a)-val), erre a kiadódott megoldás (ti. minden ) szintén felhívhatta volna a figyelmet. |
|