Kezdőlap


Feladat:	1266. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csirke B. , Deák István , Földes Antónia , Halmai L. , Hanák P. , Horányi Sándor , Hortobágyi József , Kerényi István , Kóbor Gy. , Komor Tamás , Krámli Gy. , Langer László , Lehel Csaba , Lovász László , Marosi Judit , Mátrai M. , Mód G. , Nagy Péter Tibor , Pelikán József , Posta E. , Rejtő Lídia , Róna Gy. , Sófalvi M. , Szabó M. , Székely Gábor , Szép András , Sörlei Zsuzsa , Veres Ferenc , Vertse M. , Vesztergombi Katalin
Füzet:	1964/november, 121 - 123. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gömbi geometria, Mértani helyek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/október: 1266. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen egy az előírásnak megfelelő derékszög csúcsa $D$ , $A$ -n átmenő szára $a$ , másik szára $e$ , és ennek a $B C$ szakaszon lévő pontja $E$ . $E$ -t rögzítve és $D$ -t mozgatva $D$ -ből az $A E$ szakasz mindig derékszögben látszik, ezért $D$ rajta van az $A E$ átmérő fölötti $g$ Thalész-gömb felületén. Fordítva, $g$ felületének bármely $D$ pontját véve az $A D E$ szög derékszög. ^{$^{*}$} Megfelel $D$ gyanánt $A$ és $E$ is, mert ekkor $a$ , ill. $e$ gyanánt vehetünk bármely $A E$ -re merőleges, $A$ -n, ill. $E$ -n átmenő egyenest. Eszerint rögzített $E$ esetén a mértani hely: $g$ felülete.

Végigtolva

E

-t a

B C

szakaszon, minden helyzetéhez tartozik egy

g

gömbfelület. Mindezek pontjainak

H

összessége alkotja a keresett mértani helyet, mert e pontok mind megfelelnek, más pont viszont nem felel meg. Ezt az összességet szemléletesebben fogjuk meghatározni.

g

gömbök középpontjainak mértani helye a

B' C'

szakasz, ahol

B'

A B

C'

pedig az

A C

szakasz felezőpontja. Nyilvánvaló ugyanis, hogy

E

minden helyzetében az

A E

átmérő

E'

felezőpontja a

B' C'

szakaszon van, és fordítva, a

B' C'

szakasz minden

E'

pontjához tartozik

g

, mert

A

-nak

E'

-re való tükörképe rajta van a

B C

szakaszon.

A

nincs rajta a

B C

egyenesen, akkor

B' C'

A B C

háromszög középvonala; eddigi megállapításaink azonban a

B C

egyenesen lévő

A

pont esetében is érvényesek, ugyanez áll a továbbiakra is. Így a

B' C' = t

egyenes a

H

mértani helynek tengelye, e körül forgatva önmagába megy át, miután ez mindegyik

g

gömbre külön is igaz. Elegendő tehát megállapítanunk

H

és bármely a

t

-n átmenő

S

sík közös pontjainak

h

halmazát, ezt

t

körül körülforgatva megkapjuk

H

-t. Ha

A

rajta van a

B C

egyenesen, akkor

t

azonos

B C

-vel, bármely

S

egyformán megfelelő; ha nincs rajta, akkor

S

gyanánt az

A B C

síkot célszerű venni, így a feladatot egyelőre síkra szorítkozva oldjuk meg, hiszen

D

E

és velük a derékszög is benne van

S

-ben.

S

minden

g

-ből egy legnagyobb kört metsz ki, amely átmegy

A

-n, és amelynek középpontja a

B' C'

szakaszon van. E körök kerületi pontjainak összessége adja

h

-t. E kör két szélső helyzete a

B'

és

C'

középpont körüli

k_{b}

, ill.

k_{c}

kör. Megrajzolva bármely olyan kört, amely átmegy

A

-n és középpontja a

B' C'

szakaszon van, azt látjuk, hogy a kör benne halad a

k_{b}

és

k_{c}

által lefedett síkrészben, de nincs pontja

k_{b}

és

k_{c}

belsejének közös részében. Bebizonyítjuk, hogy

h

-t azok és csak azok a pontok alkotják, amelyek 1)

k_{b}

és

k_{c}

kerületén vannak, 2) e körök egyikére nézve belső, másikára nézve külső pontok.

k_{b}

és

k_{c}

kerületi pontjaira állításunk nyilvánvaló. Legyen most

D

pl. a

k_{b}

belsejének egy a

k_{c}

-n kívül levő pontja.
Be kell látnunk, hogy megrajzolva a

D

-n és

A

-n átmenő

k

kört, melynek középpontja

t

-n van,

k

-nak az

A

-val átellenes

E

pontja a

B C

szakasz belsejében van, tehát az

E D A

derékszög megfelel a feltételnek. Messe az

A D

egyenes

k_{b}

-t és

k_{c}

-t másodszor

D_{b}

-ben ill.

D_{c}

-ben (az utóbbi azonos

A

-val, ha

D A

érinti

k_{c}

-t), és tekintsük a

D

D_{b}

D_{c}

pontok sorrendjét. Feltevésünk szerint

D

közte van

A

-nak és

D_{b}

-nek, viszont nincs közte

A

-nak és

D_{c}

-nek. Így

D

mindenesetre

D_{b}

és

D_{c}

között van, akár belül van

A

D_{b} D_{c}

szakaszon, akár kívül (az ábrán

D

, ill.

D^{*}

vezet ezen kétféle helyzetre). Másrészt a

D_{b} B

D E

és

D_{c} C

egyenesek párhuzamosak, mert Thalész tétele szerint mindegyik merőleges

A D

-re. Így

D E

D_{b} B

és

D_{c} C

között fekszik,

E

pedig valóban

B

és

C

között van. Ezek szerint

D

hozzátartozik

h

-hoz.

Legyen másrészt

A D E

egy tetszés szerinti derékszög, ahol

E

B C

szakasz egy belső pontja. A

B

-ből és

C

-ből

A D

-re bocsátott merőleges talppontja legyen

D_{b}

és

D_{c}

, ekkor

B D_{b}

C D_{c}

és

E D

párhuzamosak, mert mindegyik merőleges

A D

-re, és

D

D_{b}

és

D_{c}

közt van, mert

E

B

és

C

közé esik. Ekkor azonban

D

A D_{b}

és

A D_{c}

szakaszok egyikén rajta van, a másikon nincs (akár

D_{b}

és

D_{c}

köré esik

A

, akár nem). Így

D

k_{b}

és

k_{c}

körök egyikének belsejében van, a másikon kívül.

Visszatérve a térbeli feladatra, a

t

körül való forgatással

k_{b}

és

k_{c}

A B

, ill.

A C

átmérő fölötti

g_{b}

, ill.

g_{c}

gömbfelületet írja le

k_{b}

és

k_{c}

belső pontjai ‐ és

S

-nek csakis ezek a pontjai ‐ a megfelelő gömb belső pontjain haladnak át, így a mondottak szerint a keresett

H

mértani helyet

g_{b}

és

g_{c}

felületi pontjai alkotják, továbbá azok a pontok, amelyek e gömbfelületek egyikére nézve belső, másikára nézve külső pontok. Ez a megállapítás érvényes akkor is, ha

A

B C

egyenesen van, sőt egybe is eshet

B

-vel vagy

C

-vel, az utóbbi esetben a megfelelő gömbfelület egy pontra zsugorodik össze. Más szóval:

H

-t

g_{b}

és

g_{c}

felületi és belső pontjai alkotják, kivéve a két gömb belseje közös részének pontjait ‐ amennyiben ilyen közös rész létezik.

Szép András (Budapest, Rákóczi F. g. IV. o. t.)

^{$^{*}$}Lásd 769.gyakorlat, K. M. L. 26 (1963) 66. o.