A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Kétszeri négyzetreemeléssel az egyenlet olyan következményét írhatjuk fel, amelyben nem szerepel gyökjel:
amiből
Eszerint gyök gyanánt csak az | | számok jönnek szóba, ha ti. . A esetben (2) ellentmondást fejez ki, ekkor (1)-nek nincs gyöke. és valósak, ha . Ekkor ; ez nem lehet gyöke (1)-nek, mert (1) bal oldala nem negatív. -t (1)-be helyettesítve a két négyzetgyök alatti kifejezés:
Ha , akkor mindkét kifejezés pozitív. Négyzetgyökük összegének kell -t adnia ahhoz, hogy gyöke legyen (1)-nek, vagyis a közös nevezőt mindjárt elhagyva ‐ teljesülnie kell a következő egyenlőségnek A bal oldal esetén tehát nem gyök; esetén tehát ebben az intervallumban kielégíti (1)-et; végül esetén a bal oldal ami ebbe az intervallumba eső értékekre nem egyenlő a jobb oldallal, tehát ebben az esetben sem gyök. Mindezek szerint az (1) egyenlet egyetlen valós gyöke esetén más értékek esetén nincs valós megoldása:
Surányi László (Budapest, Fazekas M. gyak. g. I. o. t.)
Megjegyzés. Meghatározhatjuk azt az intervallumot, amelybe a gyök esik. Átalakítással | | eszerint a számára megállapított (0, ) intervallumon végighaladva növekszik, mert a gyök alatt a tört számlálója növekszik, nevezője csökken. esetén , esetén , tehát a mondott intervallum (1, ). |