Kezdőlap


Feladat:	1265. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Surányi László
Füzet:	1964/április, 158 - 159. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletek, Paraméteres egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/október: 1265. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Kétszeri négyzetreemeléssel az egyenlet olyan következményét írhatjuk fel, amelyben nem szerepel gyökjel:

\begin{matrix} 4 \cdot \sqrt[]{(x^{2} - p) (x^{2} - 1)} = p + 4 - 4 x^{2}, \\ 16 p - 16 (p + 1) x^{2} = p^{2} + 8 p + 16 - 8 (p + 4) x^{2}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} 8 (2 - p) x^{2} = p^{2} - 8 p + 16 = {(p - 4)}^{2}, & (2) \\ x^{2} = \frac{{(p - 4)}^{2}}{8 (2 - p)} . \end{matrix}

Eszerint gyök gyanánt csak az

\begin{matrix} x_{1} = \frac{p - 4}{\sqrt[]{8 (2 - p)}}, x_{2} = \frac{4 - p}{\sqrt[]{8 (2 - p)}} \end{matrix}

számok jönnek szóba, ha ti.

p \neq 2

. A

p = 2

esetben (2) ellentmondást fejez ki, ekkor (1)-nek nincs gyöke.

x_{1}

és

x_{2}

valósak, ha

p < 2

. Ekkor

x_{1} < 0

; ez nem lehet gyöke (1)-nek, mert (1) bal oldala nem negatív.

x_{2}

-t (1)-be helyettesítve a két négyzetgyök alatti kifejezés:

\begin{matrix} x^{2} - p = \frac{p^{2} - 8 p + 16}{16 - 8 p} - p = \frac{9 p^{2} - 24 p + 16}{8 (2 - p)} = \frac{{(3 p - 4)}^{2}}{8 (2 - p)}, \\ x^{2} - 1 = \frac{p^{2}}{8 (2 - p)} . \end{matrix}

p < 2

, akkor mindkét kifejezés pozitív. Négyzetgyökük összegének kell

x_{2}

-t adnia ahhoz, hogy

x_{2}

gyöke legyen (1)-nek, vagyis a közös nevezőt mindjárt elhagyva ‐ teljesülnie kell a következő egyenlőségnek

\begin{matrix} | 3 p - 4 | + 2 | p | = 4 - p . \end{matrix}

A bal oldal

p < 0

esetén

\begin{matrix} - (3 p - 4) + 2 (- p) = - 5 p + 4 \neq 4 - p, \end{matrix}

tehát

x_{2}

nem gyök;

0 \leq p \leq 4 / 3

esetén

\begin{matrix} - (3 p - 4) + 2 p = - p + 4, \end{matrix}

tehát ebben az intervallumban

x_{2}

kielégíti (1)-et; végül

4 / 3 < p < 2

esetén a bal oldal

\begin{matrix} 3 p - 4 + 2 p = 5 p - 4, \end{matrix}

ami ebbe az intervallumba eső értékekre nem egyenlő a jobb oldallal, tehát

x_{2}

ebben az esetben sem gyök.
Mindezek szerint az (1) egyenlet egyetlen valós gyöke

0 \leq p \leq 4 / 3

esetén

\begin{matrix} x = \frac{4 - p}{\sqrt[]{8 (2 - p)}}, \end{matrix}

más

p

értékek esetén nincs valós megoldása:

Surányi László (Budapest, Fazekas M. gyak. g. I. o. t.)

Megjegyzés. Meghatározhatjuk azt az intervallumot, amelybe a gyök esik. Átalakítással

\begin{matrix} x = \frac{4 - p}{\sqrt[]{8 (2 - p)}} = \sqrt[]{\frac{16 - 8 p + p^{2}}{16 - 8 p}} = \sqrt[]{1 + \frac{p^{2}}{16 - 8 p}}, \end{matrix}

eszerint a

p

számára megállapított (0,

4 / 3

) intervallumon végighaladva

x

növekszik, mert a gyök alatt a tört számlálója növekszik, nevezője csökken.

p = 0

esetén

x = 1

p = 4 / 3

esetén

x = 2 / \sqrt[]{3} > 1

, tehát a mondott intervallum (1,

2 / \sqrt[]{3}