Kezdőlap


Feladat:	1263. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ormai Lóránt
Füzet:	1964/február, 66. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Alakzatba írt kör, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Terület, felszín, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/szeptember: 1263. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $H_{1}$ háromszög oldalait betűzzük a szokásos módon úgy, hogy $a \leq b \leq c$ álljon. Feltevés szerint $b = (a + c) / 2$ , amiből $b - a = c - b$ . Ezt a különbséget, ami nem negatív, $d$ -vel jelölve $a = b - d$ , $c = b + d$ , $2 s = a + b + c = 3 b$ , és a beírt kör sugarára

\begin{matrix} ϱ = \frac{t}{s} = \sqrt[]{\frac{(s - a) (s - b) (s - c)}{s}} = \sqrt[]{\frac{(b - 2 d) (b + 2 d)}{12}}, \\ 12 ϱ^{2} = b^{2} - 4 d^{2} . & (1) \end{matrix}

H_{2}

és

H_{3}

oldalait megkapjuk

H_{1}

-éiből, ha

b

-t csökkentjük, ill. növeljük a kívánt mértékben,

d

-t változatlanul hagyva. Így rájuk a feladat feltételei szerint

\begin{matrix} 12 {(ϱ - 5)}^{2} & = {(b - 10)}^{2} - 4 d^{2}, & (2) \\ 12 {(ϱ + 5)}^{2} & = {(b + 14)}^{2} - 4 d^{2} . & (3) \end{matrix}

Felbontva (2)-ben és (3)-ban a zárójeleket, és levonva belőlük (1)-et

\begin{matrix} - 120 ϱ + 300 & = - 20 b + 100, \\ 120 ϱ + 300 & = 28 b + 196. \end{matrix}

Innen

b = 38

ϱ = 8

adódik, ezeket (1)-be helyettesítve (mivel

d \geq 0

)

d = 13

-at kapunk. Így

H_{1}

oldalai

a = 25

b = 38

c = 51

egység,

H_{2}

oldalai 15, 28 és 41,

H_{3}

oldalai pedig 39, 52, 65 (derékszögű háromszög); ezekből a beírt kör sugara

H_{2}

-ben 3,

H_{3}

-ban 13 egység, a feladat követelményeinek megfelelően.

Ormai Lóránt (Pannonhalma, Benedekrendi g. IV. o. t.)