Kezdőlap


Feladat:	1260. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Kövér Ákos
Füzet:	1964/április, 158. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Egyenlőtlenségek, Ellenpélda, mint megoldási módszer a matematikában, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/szeptember: 1260. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a négy szám közül legalább három pozitív, akkor $a$ és $c$ pozitív, és $b$ és $d$ közül is legalább az egyik; feltehetjük, hogy $b$ pozitív, mert ha nem így volna, akkor csak a két egyenlőtlenség szerepét kell felcserélni. Azt kell belátnunk, hogy az $a c - b d$ különbség nem negatív. Belőle $b c$ -t levonva, majd ugyanezt hozzáadva, a kifejezés így alakítható:

\begin{matrix} (a c - b c) + (b c - b d) = c (a - b) + b (c - d) . \end{matrix}

(1)

Mindkét szorzat első tényezője pozitív, második tényezője a feltevéseknél fogva nem negatív, ezért egyik szorzat sem negatív, tehát összegük sem. Ezt kellett megmutatnunk.
Ha a négy szám közül legalább három negatív, akkor

b

és

d

, továbbá

a

és

c

legalább egyike ‐ feltehetjük, hogy

c

‐ negatív. Ekkor (1) jobb oldalán mindkét szorzat első tényezője negatív, a második tényezők pozitívok, vagy egyenlők 0-val, így mindkét szorzat vagy negatív, vagy 0, ezért ugyanez áll összegükre is, tehát

a c - b d \leq 0

, az állításnak megfelelően.
A hátra levő esetekben

a

b

c

d

között pozitív szám is, negatív is legfeljebb kettő lehet. Elegendő két számpéldán megmutatni, hogy ekkor

a c

kisebb is lehet

b d

-nél, nagyobb is (és nyilván lehetnek egyenlők is). Pl.

\begin{matrix} a = 10, b = - 2, c = 6, d = - 3 esetén a c = 60 > 6 = b d, viszont \\ a = 0, c = \sqrt[]{7}, b = d = - π esetén a c = 0 < π^{2} = b d . \end{matrix}

Kövér Ákos (Debrecen, Tóth Árpád Gimn., III. o. t.)