Feladat: 1257. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Antal Magdolna ,  Bak Zsuzsanna ,  Csirik J. ,  Czina F. ,  Dénes E. ,  Derzső Patricia ,  Földes Antónia ,  Gecsey László ,  Huhn A. ,  Lápócsy Beatrix ,  Laufer Judit ,  Lehel Cs. ,  Lovász L. ,  Lux I. ,  Mátrai Miklós ,  Nagy Klára ,  Nagy Péter Tibor ,  Pelikán J. ,  Raisz P. ,  Rejtő Lídia ,  Siket Aranka ,  Szabó M. ,  Szép A. ,  Szilágyi L. ,  Treer Mária ,  Varga K. ,  Veres F. ,  Vesztergombi Katalin 
Füzet: 1965/február, 66 - 69. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyenletrendszerek grafikus megoldása, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Egyenesek egyenlete, Sík egyenlete, Térelemek és részeik, Ellenpélda, mint megoldási módszer a matematikában, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1963/szeptember: 1257. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. A leírt grafikus eljárás során a következő metszéspontokat találjuk (1. ábra):

C0(15;3),A0(-21;-9),B0(-5;23);C1(1;1),A1(-17;-5),B1(-9;11),
és a C0C1, A0A1 és B0B1 egyenesek valóban egy pontban metszik egymást, az M0(-13;-1) pontban. Ez megfelel az állításnak, és a leírt eljárással bármelyik egyenletből a z=2 értéket kapjuk.
 
 
1. ábra
 

II. Felhasználva a megengedett tételeket,1 a következő elgondolás adódik egy három egyenletből álló, háromismeretlenes, elsőfokú egyenletrendszer megoldásának megkeresésére. Állítsuk elő mindhárom egyenlethez a hozzátartozó síkot az X, Y, Z tengelyekkel meghatározott térbeli derékszögű koordinátarendszerben 2 Két ilyen sík általában egy egyenesben metszi egymást, a metszésvonal pontjainak koordinátái a megfelelő két egyenlet mindegyikét kielégítik, és ez a tulajdonsága csak a metszésvonal pontjainak van meg. A harmadik sík ezt a metszésvonalat általában egy pontban metszi (3. ábra), ennek és csak ennek a pontnak a koordinátái mind a három egyenletet kielégítik, vagyis a három sík egyetlen közös pontjának koordinátái a rendszer megoldását adják. ‐ A három sík közös pontján mindhárom síkpár metszésvonala átmegy3.
 
 
2. ábra
 

 
3. ábra
 

A vizsgált eljárás az adott egyenletrendszer esetére az elgondolt térbeli alakzat vetületét szerkeszti meg az XY síkon. Ugyanis az a0 egyenes az (1)-et ábrázoló S1 síknak az XY síkkal való metszésvonala, hiszen z=0 az XY sík egyenlete, rajzunk R síkjáé. Hasonlóan b0, c0 a (2), ill. (3) egyenletű S2, ill. S3 síknak R-rel való metszésvonala. S1, S2, S3 és R egy A0B0C0M háromoldalú gúla lapsíkjai, az A0B0C0 háromszög a gúla alaplapja, pl. C0 az S1, S2 és R közös pontja (2. ábra).
Továbbmenve a z=1 sík párhuzamos a z=0 síkkal, ezért gúlánk oldallapsíkjait egy‐egy az a0, b0, ill. c0 egyenessel párhuzamos egyenesben metszi, ezek páronkénti metszéspontjai a gúla oldaléleinek a z=1 síkkal való metszéspontjai. Az a1, b1, c1 egyeneseknek ugyanazon síkbeli koordinátarendszerbe való berajzolásával, és páronkénti C1, A1, B1 metszéspontjaik megjelölésével éppen a mondott metszésvonalaknak és metszéspontoknak R-en való merőleges vetületét állítjuk elő, ugyanis ilyen vetítésnél az első két koordináta változatlanul marad. Eszerint az A0A1, B0B1, C0C1 egyenesek a gúla oldaléleinek R-en levő vetületei, ezért mindhárom átmegy a gúla M főcsúcsának R-en levő merőleges vetületén. Ezért közös M0 pontjuk az M vetülete, és így M0 két koordinátája valóban egyezik M első két koordinátájával, az egyenletrendszer megoldásából x és y értékével.
Ezek szerint a leírt eljárás helyes, éspedig nemcsak az (1)‐(3) rendszer esetében, hanem minden olyan egyenletrendszer esetében, amelyben a felhasznált a0, b0, ..., c1 előkészítő egyenesek, az A0, B0, ..., C1 előkészítő pontok és az M0 pont létrejön.
 
 
4. ábra
 

 
5. ábra
 

III. Előfordulhat, hogy valamelyik pont vagy egyenes nem jön létre. Ilyenkor lehet, hogy nincs megoldása az egyenletrendszernek, de lehet az is, hogy egyszerűsödik a leírt eljárás. Ezt néhány példán illusztráljuk, megjegyezve, hogy a 3‐7. ábrákon látható összes helyzetekhez van olyan egyenletrendszer, amelynek egyenleteit ilyen síkok ábrázolják, és hogy további speciális esetekre vezet az, ha egyes síkok vagy egyenesek párhuzamosak az ábrázolás síkjával, vagy merőlegesek rá.
 
6. ábra
 

 
7 ábra
 

1. A következő rendszer első egyenletében z együtthatója 0:
x+2y=5,3x-y+12z=7,2x+y+6z=-14,
így a0, a1, B0B1 és C0C1 egybeesik, de A0A1 kimetszi belőle M0-t (8. ábra, M0 messze kiesik). A rendszernek van határozott megoldása; a síkok kölcsönös helyzete olyan típusú, mint a 3. ábrán, S1 merőleges R-re.
 
8. ábra
 

 
9. ábra
 
2. Az alábbi rendszer esetében b0 és c0 párhuzamosak:
3x+2y+2z=0,2x+3y+2z=3,4x+6y+5z=8,5.
A0 és A1 nem jön létre, de B0B1 és C0C1 metszéspontja létrejön, van határozott megoldás (5. és 3. ábra, S2 és S3 metszésvonala párhuzamos R-rel).
3. A legutóbbi rendszer 3. egyenletében 5z helyére 4z-t írva c0 és c1 távolsága egyenlőnek adódik b0 és b1 távolságával, és c1 ugyanazon irányú eltolással jön létre c0-ból, mint b1 a b0-ból, így B0B1C1C0 paralelogramma (a 7. ábrán C'1, B'1, a többi változatlan). A rendszer ellentmondó, S3 párhuzamos S2-vel.
 

 A következők dolgozataiból összeállítva, kiegészítésekkel
 Gecsey László (Budapest, József A. g.)
 Nagy Klára (Makó, József A. g.)
 Treer Mária (Budapest, Kaffka M. g.)
 Mátrai Miklós (Hódmezővásárhely, Bethlen G. g.)
1Az eredeti kitűzés megengedte néhány tétel bizonyítás nélkül való felhasználását.

2Az az állítás, hogy az S1, sík pl. az (1) egyenlet képe, és fordítva, hogy S1 egyenlete (1), a síkbeli megfelelő kapcsolatokhoz hasonlóan azt jelenti, hogy minden az egyenletet kielégítő x, y, z számhármassal mint koordinátákkal meghatározott pont rajta van S1-en, és fordítva, S1, minden pontjának x, y, z koordinátái kielégítik az egyenletet.

3Ha a három síknak nincs közös pontja, mert a harmadik sík párhuzamos az első kettő metszésvonalával, esetleg a síkok egyikével is, vagy mert mindhárom sík párhuzamos, és így bármelyik kettőjüknek nincs metszésvonala, akkor az egyenletrendszernek nincs megoldása, a rendszer ellentmondást tartalmaz, ezen az úton sem oldható meg. Ha pedig a három síknak több közös pontja van, mert pl. S3 tartalmazza S1 és S2 metszésvonalát, vagy két sík, vagy mindhárom sík egybeesik, akkor az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van, tehát nincs határozott megoldása. Két egyenlet képe ugyanaz a sík, ha van olyan állandó, amellyel pl. az első egyenletet megszorozva a másodikat kapjuk. ‐ Könnyen belátható, hogy a 3.7. ábrák feltüntetik 3 különböző sík kölcsönös helyzeteinek minden lehetséges típusát.