Kezdőlap


Feladat:	1256. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Antal Magdolna , Bak Zsuzsanna , Bálint L. , Berecz Ágota , Csirik J. , Érdi Bálint , Fodor Zsuzsa , Folly Gábor , Földes Antónia , Gálfi István , Hegyi István , Hirka A. , Hoffmann P. , Hoffmann Péter , Horváth J. , Jahn László , Kovács László , Lovász László , Makai Endre , Malatinszky Géza , Minárik L. , Mód G. , Nagy Klára , Pelikán József , Sófalvi M. , Somos Péter , Szalkai I. , Szalkai Ilona , Szidarovszky Ferenc , Sövényházi Mária , Tamás G. , Treer Mária , Veres F.
Füzet:	1964/január, 15 - 17. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gömbi geometria, Kombinatorikai leszámolási problémák, Térgeometria alapjai, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/május: 1256. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ugyanazon gömbátmérőre merőlegesen állított 3 sík párhuzamos egymással, középsőjük főkört metsz ki a gömbből, a másik két gömbátmérő e főkörnek is átmérője. A kimetszett 3 főkör a nyilvánvaló szimmetria miatt a gömb felületét 8 egybevágó és egyformán felosztott gömbháromszögre vágja szét, ezért elég az egy ilyenben létrejött gömbfelületi részek számát meghatároznunk, ennek 8-szorosa adja az összes részek számát. Az 1. ábra $A B C$ gömbháromszöge és a benne fekvő gömbi körívek helyett vizsgálhatjuk az alakzatnak az egyik főkör síkjára, pl. $O A B$ -re való (merőleges) vetületét, mert így a gömbfelületi részek vetületei nem fedik át egymást.

\begin{matrix} 1. ábra \end{matrix}

\begin{matrix} 2. ábra \end{matrix}

A gömbháromszög vetülete az illető főkör

O A B

körcikke, negyedköre, ennek két határoló sugara a másik két főkör

A C

B C

negyedívének vetülete (2. ábra); az

O A

, ill.

O B

gömbsugár

A_{1}

, ill.

B_{1}

felezőpontján át állított sík kimetszette gömbi körökből az

A B C

háromszögbe eső negyedíveknek a vetülete az

O A

-ra

A_{1}

-ben, ill.

O B

-re

B_{1}

-ben merőlegesen állított húrnak a körcikkbe eső fele; végül az

O C

-re a

C_{1}

felezőpontján át állított síkkal a gömbből kimetszett kör tekintetbe jövő negyedívének vetülete egy vele egyenlő sugarú

i

negyedkör az

O

középpont körül.

i

sugarának hossza egyenlő a mondott fél húrok hosszával (a gömb sugarának

\sqrt[]{3} / 2

-szeresével). A fél húrok metszéspontja közelebb van

O

-hoz, mint ez a sugár, ezért

i

a fél húrokat külön‐külön metszi. Így a körcikken 7 síkrész keletkezik, tehát a fentiek figyelembevételével a 9 kör a gömb felületét

8 \cdot 7 = 56

részre darabolja szét.
A három gömbátmérő 6‐6 egyenlő részre osztásának esetében hasonlóan eljárva az

O A

O B

sugarakkal párhuzamosan 2‐2 félhúrt, továbbá

O

körül két, a fél húrokkal egyenlő sugarú negyedkört kapunk (3. ábra). A szerkesztés szerint a kisebb negyedkör átmegy a fél húroknak azon a 2 metszéspontján, amelyekben egy hosszabb és egy rövidebb fél húr metszi egymást, a nagyobb negyedkör pedig a két rövidebb fél húr

P'

metszéspontján. Ennek távolsága

O

-tól

O P' = O A' \sqrt[]{2} = 2 r \sqrt[]{2} / 3

, ahol

r

a gömb sugara.

\begin{matrix} 3. ábra \end{matrix}

Legyen

P

A B C

gömbháromszögnek az a pontja, ahol a

P'

-ben az

O A B

síkra állított merőleges a gömbháromszöget metszi. Így az

O P' P

derékszögű háromszögből

\begin{matrix} P' P = \sqrt[]{r^{2} - O P'^{2}} = \sqrt[]{r^{2} - \frac{8 r^{2}}{9}} = \frac{r}{3}, \end{matrix}

vagyis

P

valóban rajta van azon az

O A B

síkkal párhuzamos körmetszeten, amelyet az

O C

sugár első harmadoló pontján át állított merőleges sík metsz ki a gömbből. Ebből látható, hogy a másik két talált metszéspont is egy‐egy olyan gömbfelületi pont vetülete, amelyen 3 körmetszet halad át. Ugyanis

P

távolsága a három főkör síkjától

2 r / 3

2 r / 3

r / 3

, a másik két metszéspont távolságai pedig ezek felcserélésével adódnak (a fél húrok metszéspontjának

O

-tól mért távolsága

r \sqrt[]{5} / 3

, ezért a gömbfelületi pont magassága az

O A B

sík fölött

2 r / 3

).
Ezek szerint a 3. ábrán látható körcikk síkrészeinek száma 16, és a 3 átmérőt 6‐6 egyenlő részre osztó pontok útján adódó 15 kör a gömb felületét

8 \cdot 16 = 128

részre osztja.

Hegyi István (Kalocsa, I. István g. III. o. t.)

Megjegyzés. A 2. ábra 1, 3 és 7, valamint 2, 6 és 4 jelű síkrészeihez tartozó gömbfelületi részek hármasával egybevágók, ugyanis az 1. ábra szerint a gömbi körök alakzatának ,,háromütemű'' (

120^{\circ}

-os) forgási szimmetriája is van, ennek tengelye

O

-n, másrészt a 2. ábra ,,5'' jelű síkrészével ábrázolt gömbfelületi résznek középpontján megy át. ‐ Hasonlóan hármasával egybevágók a 3. ábra 1, 5, 13, valamint 3, 11, 16, továbbá 7, 9, 14 jelű részeinek megfelelő gömbi részek, végül egybevágók a 2, 4, 6, 12, 10 és 15 jelű részeknek megfelelő gömbfelületi részek; ezek közül 3‐3 forgással megy át egymásba, a két hármas egy‐egy tagja pedig alkalmas tükrözés utáni esetleges forgással; a 8 jelű rész megfelelőjének középpontján megy át a 3‐ütemű forgástengely, valamint az említett tükrözések síkjai.