Feladat: 1255. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bálint Lajos ,  Berecz Ágota ,  Csirik J. ,  Érdi B. ,  Fodor Zs. ,  Folly G. ,  Földes Antónia ,  Gálfi I. ,  Hirka A. ,  Hoffmann P. ,  Kiss A. ,  Komor T. ,  Kőszegi L. ,  Lénárt Z. ,  Malatinszky G. ,  Marosi Judit ,  Minárik L. ,  Pelikán J. ,  Ringler A. ,  Somos P. ,  Szalkai I. ,  Szilágyi T. ,  Tamás E. ,  Tamás G. ,  Treer Mária ,  Veres F. 
Füzet: 1964/március, 106 - 107. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Csonkagúlák, Terület, felszín, Térfogat, Héroni számhármasok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1963/május: 1255. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az oldallapok az adott alaplappal tompaszöget zárnak be, ezért az adott alaplap a csonkagúla kisebb alaplapja, tehát ez az alaplapja a test kiegészítő gúlájának. Ennek h magasságát tudjuk a hajlásszögek egyenlőségéből könnyen meghatározni. Ezzel ismerjük a két alaplap arányát is. A kisebb alap t területét Heron képletével számíthatjuk ki; a nagyobb T területére T/t=(m+h)2/h2, T=(m+h)2h2t2.
A térfogat:

V=m3(T+Tt+t)=mt3[(m+hh)2+m+hh+1];
ennek kiszámításához tehát t-n kívül a kiegészítő gúla h magasságának meghatározására van szükségünk.
E gúla oldallapjai az adott szög kiegészítő szögével, δ=67,38-kal hajlanak az alaphoz. Ebből következik, hogy egyenlők egyrészt a kiegészítő gúla oldalmagasságai is, másrészt ezeknek az alapon levő vetületei; ugyanis ezen szakaszok között mérhetjük az oldallapok hajlásszögét, és a keletkező három derékszögű háromszögben a testmagasság közös befogó, és a vele szemben levő szögek az egyenlő lapszögek, tehát a háromszögek egybevágók.
 
 

Ezek szerint a kiegészítő gúla M főcsúcsának az alapon levő M' vetülete egyenlő távol van az alapháromszög oldalaitól, továbbá benne van a háromszögben, tehát azonos az alapháromszögbe írt kör középpontjával, a távolságok közös hossza pedig egyenlő a beírt kör ϱ sugarával. ϱ-t az oldalakból ismert módon kiszámolhatjuk, ebből pedig megkapjuk a kiegészítő gúla h magasságát. Mindjárt numerikusan:
ϱ=ts=1ss(s-a)(s-b)(s-c)=125625610810048==11520256=45mm,
  h=ϱ 
tg δ452,400=108,0 mm  


Így
(m+h)/h135/108=5/4,és a térfogatV27115203(2516+54+1)=271152061316==395280mm3395,3cm3.


(Legfeljebb 4 számjegy értéke lehet megbízható, mert h értéke csak ennyire pontos.)
Nyilvánvaló, hogy az oldallap trapézok m' magassága ugyancsak egyenlő, értéke m'=m/sinδ29,25mm; így egy lépésben számíthatjuk a 3 oldallap-trapéz együttes területét, azaz a P palástot. A nagyobb alaplap kerületének felét S-sel jelölve a már felhasznált hasonlóság szerint S:s=(m+h):m, s így
P=(s+S)m'=(1+m+h)h)sm'9425629,25==16848mm2168,5cm2,


végül a csonkagúla felszíne
F=t+T+P(1+2516)11520+16850=46370mm2=463,7cm2.

 Bálint Lajos (Budapest, Fáy A. Gimn., III. o. t.)