|
Feladat: |
1255. matematika feladat |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bálint Lajos , Berecz Ágota , Csirik J. , Érdi B. , Fodor Zs. , Folly G. , Földes Antónia , Gálfi I. , Hirka A. , Hoffmann P. , Kiss A. , Komor T. , Kőszegi L. , Lénárt Z. , Malatinszky G. , Marosi Judit , Minárik L. , Pelikán J. , Ringler A. , Somos P. , Szalkai I. , Szilágyi T. , Tamás E. , Tamás G. , Treer Mária , Veres F. |
Füzet: |
1964/március,
106 - 107. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Csonkagúlák, Terület, felszín, Térfogat, Héroni számhármasok, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1963/május: 1255. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az oldallapok az adott alaplappal tompaszöget zárnak be, ezért az adott alaplap a csonkagúla kisebb alaplapja, tehát ez az alaplapja a test kiegészítő gúlájának. Ennek magasságát tudjuk a hajlásszögek egyenlőségéből könnyen meghatározni. Ezzel ismerjük a két alaplap arányát is. A kisebb alap területét Heron képletével számíthatjuk ki; a nagyobb területére , . A térfogat: | | ennek kiszámításához tehát -n kívül a kiegészítő gúla magasságának meghatározására van szükségünk. E gúla oldallapjai az adott szög kiegészítő szögével, -kal hajlanak az alaphoz. Ebből következik, hogy egyenlők egyrészt a kiegészítő gúla oldalmagasságai is, másrészt ezeknek az alapon levő vetületei; ugyanis ezen szakaszok között mérhetjük az oldallapok hajlásszögét, és a keletkező három derékszögű háromszögben a testmagasság közös befogó, és a vele szemben levő szögek az egyenlő lapszögek, tehát a háromszögek egybevágók.
Ezek szerint a kiegészítő gúla főcsúcsának az alapon levő vetülete egyenlő távol van az alapháromszög oldalaitól, továbbá benne van a háromszögben, tehát azonos az alapháromszögbe írt kör középpontjával, a távolságok közös hossza pedig egyenlő a beírt kör sugarával. -t az oldalakból ismert módon kiszámolhatjuk, ebből pedig megkapjuk a kiegészítő gúla magasságát. Mindjárt numerikusan:
Így (m+h)/h≈135/108=5/4,és a térfogatV≈27⋅115203(2516+54+1)=27⋅11520⋅613⋅16==395280mm3≈395,3cm3.
(Legfeljebb 4 számjegy értéke lehet megbízható, mert h értéke csak ennyire pontos.) Nyilvánvaló, hogy az oldallap trapézok m' magassága ugyancsak egyenlő, értéke m'=m/sinδ≈29,25mm; így egy lépésben számíthatjuk a 3 oldallap-trapéz együttes területét, azaz a P palástot. A nagyobb alaplap kerületének felét S-sel jelölve a már felhasznált hasonlóság szerint S:s=(m+h):m, s így P=(s+S)m'=(1+m+h)h)sm'≈94⋅256⋅29,25==16848mm2≈168,5cm2,
végül a csonkagúla felszíne | F=t+T+P≈(1+2516)11520+16850=46370mm2=463,7cm2. |
Bálint Lajos (Budapest, Fáy A. Gimn., III. o. t.) |
|