|
Feladat: |
1249. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Antal Magdolna , Berecz Ágota , Csirik J. , Érdi Bálint , Folly Gábor , Freud Róbert , Földeáki Mária , Földes Antónia , Gálfi István , Gazsó János , Gyárfás András , Hegyi I. , Hirka A. , Hoffmann P. , Kőszegi László , Lehel Jenő , Lénárt Zoltán , Lovász László , Makai Endre , Malatinszky G. , Mayer J. , Minárik László , Nagy Klára , Pelikán József , Recski András , Sófalvi M. , Somos Péter , Szalkai István , Szidarovszky Ferenc , Szilágyi Tivadar , Takács László , Tamás G. , Treer Mária , Veres Ferenc |
Füzet: |
1964/március,
99 - 101. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Másodfokú diofantikus egyenletek, Tizes alapú számrendszer, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1963/május: 1249. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. I. A szám jegyeit rendre , , -vel jelölve a feltételek szerint
(2)-ben beszorzás és rendezés után egyszerűsíthetünk -gyel: és innen -t (1) alapján kiküszöbölve Nyilván , mert különben , majd következnék. Másrészt az együtthatók összege , tehát -vel az egyenlet teljesül, vagyis a bal oldal osztható az különbséggel. Szorzattá alakítás után ez pedig csak , mellett teljesülhet, mert és feltevés szerint különbözők, . Így (1)-ből . Ezek szerint páros számjegy, másrészt , mert szintén számjegy, ezért ; így csak a következő két számjegyhármas felelhet meg: tehát a szóban forgó szám vagy . Valóban és mértani középarányosa , a feladat állításainak megfelelően. Ugyanez áll a számra is, melynek jegyei rendre -szer nagyobbak. II. Tegyük fel, hogy az számnak akkor is megvannak a feltételekben kimondott tulajdonságai, ha a számot a -alapú (bázisú) számrendszerben felírva gondoljuk, vagyis (2)-ben helyett -t írunk (, egész szám). A fentiek mintájára, közben -gyel egyszerűsítve ‐ ami ‐ a (3) és (4) egyenletek helyére a következők lépnek: | | (4') | A bal oldalt és polinomjának tekintve itt is az együtthatók összege, tehát a bal oldalból kiemelhető: | | Továbbra is kizárjuk azt az érdektelen esetet, amelyben , így a második tényező , amiből, mindjárt (1)-re tekintettel | | (6) | (A , esetet később vizsgáljuk.) Nem lehet, hogy osztható legyen -gyel, különben holott a alapú számrendszerben a legnagyobb számjegy . Ezért csak úgy egész, ha -nek van -nél nagyobb közös osztója -gyel. Ez a közös osztó csak lehet, mert ennyi a két szám különbsége, viszont két szám közös osztója a különbségüknek is osztója, és -nak -nél nagyobb osztója csak önmaga. Legyen , ahol egész szám, és miatt , vagyis a számrendszer alapszáma alakú. Így (6)-ból | | kell tehát, hogy többszöröse legyen -nek: , ahol természetes szám. Ekkor Itt , különben ugyanis . -vel viszont miatt mindig teljesül , vagyis a alapú számrendszerben számjegy. Így lehetséges értékei és . Ezek szerint minden egész szám mellett a alapú számrendszerben az és számjegyekkel felírt számoknak megvan a vizsgált tulajdonsága, vagyis mindig áll Pl. a -es számrendszerben , ezért , , , , , ill. , , ; az elsővel , , , az utóbbi szám valóban mértani közepe az előbbi kettőnek. esetén (5)-ből, majd (1)-ből , , másrészt , így egyetlen lehetséges értéke , ennélfogva . A tízes rendszerre átírva , , , és valóban . Ebben a számrendszerben csak egy számnak van meg a vizsgált tulajdonsága.
Lénárt Zoltán (Budapest, Eötvös J. g. IV. o. t.) | II. megoldás. (mindjárt tetszőleges alapú számrendszerre). Gyorsabban jutunk eredményre, ha az (1) feltevést | | alakban írjuk, ahol egész szám. Ekkor a alapú számrendszerben a (2) egyenlet így alakul: | | Innen és miatt | | miatt , , másrészt miatt , nem egyszerűsíthető -mal, ezért , , -re egész megoldást csak akkor kapunk, ha . és esetén nem megoldás, minden más megfelelő esetén két megoldás van.
Szalkai István (Budapest, Széchenyi I. g. III. o. t.) |
v |
|