Feladat: 1249. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Antal Magdolna ,  Berecz Ágota ,  Csirik J. ,  Érdi Bálint ,  Folly Gábor ,  Freud Róbert ,  Földeáki Mária ,  Földes Antónia ,  Gálfi István ,  Gazsó János ,  Gyárfás András ,  Hegyi I. ,  Hirka A. ,  Hoffmann P. ,  Kőszegi László ,  Lehel Jenő ,  Lénárt Zoltán ,  Lovász László ,  Makai Endre ,  Malatinszky G. ,  Mayer J. ,  Minárik László ,  Nagy Klára ,  Pelikán József ,  Recski András ,  Sófalvi M. ,  Somos Péter ,  Szalkai István ,  Szidarovszky Ferenc ,  Szilágyi Tivadar ,  Takács László ,  Tamás G. ,  Treer Mária ,  Veres Ferenc 
Füzet: 1964/március, 99 - 101. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Másodfokú diofantikus egyenletek, Tizes alapú számrendszer, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1963/május: 1249. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. I. A szám jegyeit rendre A, B, C-vel jelölve a feltételek szerint

2B=A+C,(1)(102A+10B+C)(102C+10A+B)=(102B+10C+A)2.(2)


(2)-ben beszorzás és rendezés után egyszerűsíthetünk 103-1-gyel:
A2-10B2+10AC-BC=0,(3)
és innen B-t (1) alapján kiküszöbölve
A2-3AC+2C2=0.(4)

Nyilván C0, mert különben A=0, majd B=0 következnék. Másrészt az együtthatók összege 1-3+2=0, tehát A=C-vel az egyenlet teljesül, vagyis a bal oldal osztható az A-C különbséggel. Szorzattá alakítás után
(A-C)(A-2C)=0,
ez pedig csak A-2C=0, A=2C mellett teljesülhet, mert A és C feltevés szerint különbözők, A-C0. Így (1)-ből B=3C/2.
Ezek szerint C páros számjegy, másrészt A=2C9, mert A szintén számjegy, ezért C<5; így csak a következő két számjegyhármas felelhet meg:
C=2,A=4,B=3;C=4,A=8,B=6,
tehát a szóban forgó szám 432 vagy 864. Valóban 432=1627=2433 és 243=35 mértani középarányosa 2234=324, a feladat állításainak megfelelően. Ugyanez áll a 864 számra is, melynek jegyei rendre 2-szer nagyobbak.
 

II. Tegyük fel, hogy az ABC¯ számnak akkor is megvannak a feltételekben kimondott tulajdonságai, ha a számot a b-alapú (bázisú) számrendszerben felírva gondoljuk, vagyis (2)-ben 10 helyett b-t írunk (b2, egész szám). A fentiek mintájára, közben b3-1-gyel egyszerűsítve ‐ ami 0 ‐ a (3) és (4) egyenletek helyére a következők lépnek:
A2-bB2+bAC-BC=0,(3')
(b-4)A2-2(b-1)AC+(b+2)C2=0.(4')
A bal oldalt A és C polinomjának tekintve itt is 0 az együtthatók összege, tehát A-C a bal oldalból kiemelhető:
[(b-4)A2-(b-4)AC]-[(b+2)AC+(b+2)C2]=
=(A-C)[(b-4)A-(b+2)C]=0.
Továbbra is kizárjuk azt az érdektelen esetet, amelyben A=C=B, így a második tényező 0, amiből, mindjárt (1)-re tekintettel
(b-4)A=(b+2)C,(5)
A=(b+2)Cb-4>C,B=(b-1)Cb-4>C.(6)
(A b-4=0, b=4 esetet később vizsgáljuk.) Nem lehet, hogy C osztható legyen b-4-gyel, különben
A=(b+2)Cb-4b+2,
holott a b alapú számrendszerben a legnagyobb számjegy b-1. Ezért B csak úgy egész, ha b-1-nek van 1-nél nagyobb közös osztója b-4-gyel. Ez a közös osztó csak 3 lehet, mert ennyi a két szám különbsége, viszont két szám közös osztója a különbségüknek is osztója, és 3-nak 1-nél nagyobb osztója csak önmaga. Legyen b-1=3k, ahol k egész szám, és b>4 miatt k>1, vagyis a számrendszer alapszáma b=3k+1 alakú. Így (6)-ból
B=kCk-1,A=(k+1)Ck-1=B+Ck-1,
kell tehát, hogy C többszöröse legyen k-1-nek: C=m(k-1), ahol m természetes szám. Ekkor
B=km,A=km+m=(k+1)m.
Itt m<3, különben ugyanis A3k+3=b+2. m=2-vel viszont k>1 miatt mindig teljesül A=2k+23k=b-1, vagyis A=2k+2 a b alapú számrendszerben számjegy. Így m lehetséges értékei 1 és 2.
Ezek szerint minden k2 egész szám mellett a 3k+1 alapú számrendszerben az
A=k+1,B=k,C=k-1
és
A=2(k+1),B=2k,C=2(k-1)
számjegyekkel felírt ABC¯ számoknak megvan a vizsgált tulajdonsága, vagyis mindig áll
CAB¯ABC¯=BCA¯2.
Pl. a b=7-es számrendszerben k=2, ezért A, B, C=3, 2, 1, ill. 6, 4, 2; az elsővel 3217=162=234, 1327=72=2332, 2137=108=2233, az utóbbi szám valóban mértani közepe az előbbi kettőnek.
b=4 esetén (5)-ből, majd (1)-ből C=0, A=2B, másrészt A3, így A egyetlen lehetséges értéke A=2, ennélfogva B=1. A tízes rendszerre átírva ABC¯=2104=36, CAB¯=0214=9, BCA¯=1024=18, és valóban 369=182. Ebben a számrendszerben csak egy számnak van meg a vizsgált tulajdonsága.
 

Lénárt Zoltán (Budapest, Eötvös J. g. IV. o. t.)
 

II. megoldás. (mindjárt tetszőleges alapú számrendszerre). Gyorsabban jutunk eredményre, ha az (1) feltevést
A-B=B-C=d,azazA=B+d,C=B-d
alakban írjuk, ahol d egész szám. Ekkor a b alapú számrendszerben (b3) a (2) egyenlet így alakul:
[(B+d)b2+Bb+B-d][(B-d)b2+(B+d)b+B]
=[Bb2+(B-d)b+(B+d)]2,
d(b3-1)[-db+3B+d]=0.
Innen d0 és b1 miatt
B=(b-1)d3,A=(b+2)d3,C=(b-4)d3.
B0 miatt d>0, A>B>C, másrészt Ab-1 miatt d2, d nem egyszerűsíthető 3-mal, ezért A, B, C-re egész megoldást csak akkor kapunk, ha b-1=3k. b=4 és d=2 esetén A>b-1 nem megoldás, minden más megfelelő b esetén két megoldás van.
 

Szalkai István (Budapest, Széchenyi I. g. III. o. t.)


v