Feladat: 1244. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Antal J. ,  Bálint L. ,  Berecz Ágota ,  Deák I. ,  Folly G. ,  Földeáki Mária ,  Földes Antónia ,  Gálfi I. ,  Gazsó J. ,  Gyárfás András ,  Halmai L. ,  Hirka A. ,  Hoffmann P. ,  Horváth József ,  Kiss Katalin ,  Kóbor Gy. ,  Komor T. ,  Kőszegi L. ,  Lovász L. ,  Lukonics G. ,  Lux I. ,  Makai E. ,  Malatinszky G. ,  Márki L. ,  Marosi Judit ,  Nagy Klára ,  Naszályi F. ,  Necz P. ,  Pelikán J. ,  Rejtő Lídia ,  Somos P. ,  Szép A. ,  Szilágyi Tivadar ,  Szlobodnyik L. ,  Tamás E. ,  Tamás G. ,  Treer Mária ,  Vadász P. ,  Veres F. ,  Vesztergombi Katalin 
Füzet: 1964/január, 14 - 15. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Trigonometria, Periodikus sorozatok, Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1963/március: 1244. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A 762. gyakorlatban1) talált feltétel

c2+cf+f2+de=0,
és ez az adott értékrendszer mellett teljesül. Valóban így
a2=a1+31-3a1,a3=a2+31-3a2=a1-31+3a1,a4=a3+31-3a3=a1,
hacsak 1-3a10 és 1+3a10, azaz a1±1/3. A további a3, a6, a7, ... tagok gyanánt a2, a3 és a1 ismétlődnek, megint periódikusan, mivel a számsorozat minden tagját az (1) értelmezés szerint csupán a közvetlenül megelőző tagból képezzük.
Képletünk emlékeztet a goniometriából tg(α+β)-ra ismert azonosságra. Valóban, írjunk a1 helyett tgα-t ‐ ezt bármely megengedett a1 szám esetén tehetjük, mert a tgx függvény minden valós értéket felvesz ‐, továbbá vegyük figyelembe, hogy 3=tg60; így
a2=tgα+tg601-tgαtg60=tg(α+60).
Eszerint megkeresve egy olyan α szöget, amelyre tgα=a1, a következő tagot az α-nál 60-kal nagyobb szög tangense is megadja. Ez tovább is fennáll, mert mondtuk már, hogy minden tag képezésében csak a közvetlen megelőző tagot használjuk fel. Így
a3=tg[(α+60)+60]=tg(α+120)ésa4=tg(α+180)=tgα,


mert a tgx függvény periódikus és periódusa 180.
 
A kizárt a1=1/3-hoz α=30, a1=-1/3-hoz pedig α=-30 tartozik, ezekkel a2=tg90, ill. a3=tg90 adódnék. Ez nem létezik, ez a tény mutatkozott meg már előre a kizárás szükségességében.
Ezzel megadtuk a kívánt természetű magyarázatot.
 
Kiss Katalin (Makó, József A. g. II. o. t.)

 
Megjegyzés. A 762. gyakorlatban (1)-hez használt c=f=1, d=-e=1=tg45 értékrendszer mellett hasonló magyarázat adható a sorozat tagjainak négyesével periódikusan való ismétlődésére.
Hasonlóan, ha c=f=1, és d=-e=tg180n ahol n természetes szám, akkor az (1) sorozatban an+1=a1, és általában bármely k természetes számra an+k=ak. (Itt is vannak a1 számára kizárt értékek.)
 
Gyárfás András (Budapest, Toldy F. g. IV. o. t.)

1) K. M. L. 26 (1963/2) 62. o. (6) egyenlőség.