Kezdőlap


Feladat:	1243. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csörnyei Zoltán , Földeáki Mária
Füzet:	1964/február, 59. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Koszinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/március: 1243. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A szokásos jelöléseket használva válasszuk a betűzést úgy, hogy $a = \sqrt[]{b c}$ , azaz $a^{2} = b c$ ; így azt kell belátnunk, hogy $α \leq 60^{\circ}$ .
A koszinusz‐tétel és a feltevés szerint

\begin{matrix} {(b - c)}^{2} = b^{2} - 2 b c + c^{2} & = a^{2} + 2 b c cos α - 2 b c = 2 b c cos α - b c = \\ = 2 b c (cos α - \frac{1}{2}) . \end{matrix}

A bal oldal nem negatív, ezért a jobb oldal sem, így

\begin{matrix} cos α - \frac{1}{2} \geq 0, cos α \geq \frac{1}{2}, α \leq 60^{\circ} . \end{matrix}

Földeáki Mária (Budapest, Ságvári E. gyak. lg. IV. o. t.)

II. megoldás. Ugyancsak a koszinusz‐tételből kiindulva, majd felhasználva még a pozitív számok számtani és mértani közepeire vonatkozó ismert egyenlőtlenséget is:

\begin{matrix} cos α = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} = \frac{b^{2} + c^{2} - b c}{2 b c} = \frac{{(b + c)}^{2} - 3 b c}{2 b c} = \\ = 2 {(\frac{\frac{b + c}{2}}{\sqrt[]{b c}})}^{2} - \frac{3}{2} \geq 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}, \end{matrix}

amiből ismét

α \leq 60^{\circ}

Csörnyei Zoltán (Veszprém, Lovassy L. g. III. o. t.)