Kezdőlap


Feladat:	1239. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bak Zsuzsanna , Dobó Ferenc , Fejéregyházi Sándor , Folly Gábor , Gazsó J. , Jahn László , Lovász László , Lux I. , Papp M. , Pelikán József , Szidarovszky Ferenc , Szilágyi Tivadar , Tamás Endre , Tatár A. , Veres Ferenc
Füzet:	1964/március, 97 - 99. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Ábrázoló geometria, Vetítések, Egyenes körhengerek, Térgeometriai bizonyítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/március: 1239. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Tartsuk a hengerpalástot vízszintes tengellyel szemünk magasságában úgy, hogy $A D$ legyen a hozzánk legközelebbi alkotó, és tekintsük a palást vetületét egy függőleges $S_{1}$ síkon, amely párhuzamos a tengellyel. Minden pont vetületét a jele után tett $1$ -es indexszel fogjuk jelölni.

1. ábra

Segítségül vesszük a palástnak egy, a tengelyre merőleges

S_{2}

síkon levő vetületét is; ez kör, kerülete egyenlő

A B

eredeti hosszával, középpontja legyen

O

. Ennek a körnek a sugarát választva egységnek,

A B

hossza

2 π

egység. Az

S_{2}

-n levő vetületeket a betűk után tett

2

-es indexszel jelöljük. Az ábrán

S_{2}

-t az

S_{1}

-gyel való metszésvonala körül

S_{1}

-be beforgatva látjuk.

2. ábra

A feladat első részéhez elég az állítást a csavarvonal

A F

ívére bizonyítanunk. Legyen az eredeti állapotban

A F

egy pontja

P

, ennek vetülete

A D

-re

Q

, és legyen

A Q = x

, ekkor

Q P = x

, mert az

A B F E

idom négyzet, továbbá az

A_{2} P_{2}

ív ‐ ami az

A_{2} O P_{2}

szög ívmértéke, szintén

x

; legyen egyelőre

x \leq A E / 2 = π . P_{1}

-nek

A_{1} E_{1}

-től való távolsága egyenlő

S_{2}

-n

P_{2}

-nek

Q_{2} O

-tól való

P_{2} T

távolságával. A

P_{2} O T

derékszögű háromszögből adódik, hogy

P_{1} Q_{1} = sin x

. ‐ Másrészt

A_{1} Q_{1} = x

.
Helyezzünk

S_{1}

-re derékszögű koordináta-rendszert

A_{1}

-gyel mint origóval,

A_{1} E_{1}

-gyel mint abszcissza-tengellyel és irányítsuk az

Y

tengelyt fölfelé. Így

P_{1}

koordinátái

A_{1} Q_{1} = x

és

Q_{1} P_{1} = sin x

. ‐ Meggondolásaink

π < x \leq 2 π

esetén is érvényesek. A koordinátarendszerrel vele jár, hogy az

A_{1} E_{1}

alatt adódó

P_{1}

-ek esetében

Q_{1} P_{1}

-et negatívnak vegyük.

P_{1}

akkor adódik

A_{1} E_{1}

alatt, amikor

P_{2}

Q_{2} O

egyenes alatt van, vagyis amikor a forgási irányt megtartva a

Q_{2} O P_{2}

forgás nagyobb

180^{\circ}

-nál. Ekkor

P

közelebb volt

B C

-hez, mint

A E

-hez, egyszersmind

E F

-hez is közelebb volt, mint

A B

-hez, tehát

π < x < 2 π

és így

sin x

is negatívnak adja

Q_{1} P_{1}

-et. Ezek szerint a csavarvonal

A F

ívén végig futó

P

pont

P_{1}

vetülete befutja az

y = sin x

függvény képének a

(0, 2 π)

intervallumban levő ívét. Ezzel az állítást bebizonyítottuk.

3. ábra

II. Ha a csavarvonalat függőleges tengely körül

90^{\circ}

-kal elforgatjuk, a két menet vetülete (és akárhányé is) egyetlen kör lesz (az előző helyzetben

S_{2}

-n keletkezett kép). Forgassuk most lassan visszafelé a csavarvonalat (a kísérletet elvégezhetjük pl. drótmodellel, amit úgy készíthetünk, hogy a drótot egy hengerre csavarjuk az alkotókkal

45^{\circ}

-ot bezáró irányban tartva), a vonal két menete hurkot fog mutatni a kör helyett, és a hurok egyre keskenyedik. Abban a pillanatban, amikor a hurok eltűnik, a menetek alsó

M

, ill.

N

pontjában (amelyek az

A F

, ill.

E C

ív

3 / 4

részében vannak) csúcsot látunk, pl. az

A M

és

M F

ívek az

M

-ből fölfelé kiinduló félegyenest érintik ellenkező oldalról. Továbbfordítással a csavarvonal képe

M

-ben még igen hirtelen kanyarodó, de törés nélküli görbét mutat, amely az eredeti helyzetig forgatva végül a fent látott görbébe megy át.
Az átlátszó lemezre gondolva képzeljük, hogy összehajlítás előtt az

M

és

N

pontban hozzátűztünk egy papírlapot, amin megrajzoltuk az

A F

és

E D

egyenest. Az összehajlítás után a vízszintesen hagyott papírlapon ezek az egyenesek az

M

, ill.

N

pontban érinteni fogják a csavarvonalat. Képük a csavarvonal forgatása közben mindig az

M N

egyenes lesz és érinteni fogja ezekben a pontokban a vetület-görbét ‐ kivéve, amikor merőlegessé válnak

S_{1}

-re (amikor a csavarvonal tengelye

45^{\circ}

-os szöget zár be

S_{1}

-gyel), ekkor az egyenesek vetülete egy-egy pont,

M

, ill.

N

lesz, amelyek ekkor csúcsai a görbének.
Ezek szerint csúcsos vetületet akkor kapunk, amikor a vetítés iránya

45^{\circ}

-os szöget zár be az alkotóval, egyszersmind a tengellyel is.
Folly Gábor (Budapest, Piarista g. III. o. t.)