|
Feladat: |
1239. matematika feladat |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bak Zsuzsanna , Dobó Ferenc , Fejéregyházi Sándor , Folly Gábor , Gazsó J. , Jahn László , Lovász László , Lux I. , Papp M. , Pelikán József , Szidarovszky Ferenc , Szilágyi Tivadar , Tamás Endre , Tatár A. , Veres Ferenc |
Füzet: |
1964/március,
97 - 99. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Ábrázoló geometria, Vetítések, Egyenes körhengerek, Térgeometriai bizonyítások, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1963/március: 1239. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. Tartsuk a hengerpalástot vízszintes tengellyel szemünk magasságában úgy, hogy legyen a hozzánk legközelebbi alkotó, és tekintsük a palást vetületét egy függőleges síkon, amely párhuzamos a tengellyel. Minden pont vetületét a jele után tett -es indexszel fogjuk jelölni.
1. ábra
Segítségül vesszük a palástnak egy, a tengelyre merőleges síkon levő vetületét is; ez kör, kerülete egyenlő eredeti hosszával, középpontja legyen . Ennek a körnek a sugarát választva egységnek, hossza egység. Az -n levő vetületeket a betűk után tett -es indexszel jelöljük. Az ábrán -t az -gyel való metszésvonala körül -be beforgatva látjuk.
2. ábra A feladat első részéhez elég az állítást a csavarvonal ívére bizonyítanunk. Legyen az eredeti állapotban egy pontja , ennek vetülete -re , és legyen , ekkor , mert az idom négyzet, továbbá az ív ‐ ami az szög ívmértéke, szintén ; legyen egyelőre -nek -től való távolsága egyenlő -n -nek -tól való távolságával. A derékszögű háromszögből adódik, hogy . ‐ Másrészt . Helyezzünk -re derékszögű koordináta-rendszert -gyel mint origóval, -gyel mint abszcissza-tengellyel és irányítsuk az tengelyt fölfelé. Így koordinátái és . ‐ Meggondolásaink esetén is érvényesek. A koordinátarendszerrel vele jár, hogy az alatt adódó -ek esetében -et negatívnak vegyük. akkor adódik alatt, amikor a egyenes alatt van, vagyis amikor a forgási irányt megtartva a forgás nagyobb -nál. Ekkor közelebb volt -hez, mint -hez, egyszersmind -hez is közelebb volt, mint -hez, tehát és így is negatívnak adja -et. Ezek szerint a csavarvonal ívén végig futó pont vetülete befutja az függvény képének a intervallumban levő ívét. Ezzel az állítást bebizonyítottuk. 3. ábra II. Ha a csavarvonalat függőleges tengely körül -kal elforgatjuk, a két menet vetülete (és akárhányé is) egyetlen kör lesz (az előző helyzetben -n keletkezett kép). Forgassuk most lassan visszafelé a csavarvonalat (a kísérletet elvégezhetjük pl. drótmodellel, amit úgy készíthetünk, hogy a drótot egy hengerre csavarjuk az alkotókkal -ot bezáró irányban tartva), a vonal két menete hurkot fog mutatni a kör helyett, és a hurok egyre keskenyedik. Abban a pillanatban, amikor a hurok eltűnik, a menetek alsó , ill. pontjában (amelyek az , ill. ív részében vannak) csúcsot látunk, pl. az és ívek az -ből fölfelé kiinduló félegyenest érintik ellenkező oldalról. Továbbfordítással a csavarvonal képe -ben még igen hirtelen kanyarodó, de törés nélküli görbét mutat, amely az eredeti helyzetig forgatva végül a fent látott görbébe megy át. Az átlátszó lemezre gondolva képzeljük, hogy összehajlítás előtt az és pontban hozzátűztünk egy papírlapot, amin megrajzoltuk az és egyenest. Az összehajlítás után a vízszintesen hagyott papírlapon ezek az egyenesek az , ill. pontban érinteni fogják a csavarvonalat. Képük a csavarvonal forgatása közben mindig az egyenes lesz és érinteni fogja ezekben a pontokban a vetület-görbét ‐ kivéve, amikor merőlegessé válnak -re (amikor a csavarvonal tengelye -os szöget zár be -gyel), ekkor az egyenesek vetülete egy-egy pont, , ill. lesz, amelyek ekkor csúcsai a görbének. Ezek szerint csúcsos vetületet akkor kapunk, amikor a vetítés iránya -os szöget zár be az alkotóval, egyszersmind a tengellyel is. Folly Gábor (Budapest, Piarista g. III. o. t.)
|
|