|
Feladat: |
1238. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Antal Magdolna , Deák István , Földeáki Mária , Földes Antónia , Gyárfás András , Hirka András , Horváth J. , Lukács Lídia , Makai Endre , Pelikán József , Somos Péter , Szepesvári Gy. , Szilágyi Tivadar , Tamás Endre , Tihanyi László , Veres Ferenc |
Füzet: |
1964/május,
199 - 201. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Középpontos és egyéb hasonlósági transzformációk, Egyenesek egyenlete, Kör egyenlete, Kúpszeletek, Húrnégyszögek, Hozzáférhetetlenségi szerkesztések síkban, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1963/március: 1238. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Az összekötő egyenes megszerkesztéséhez célszerű lesz alkalmasan választani a kört. Mivel átmegy a ponton, pedig a ponton, egyszerű számítás várható, ha -nak az origó körül egységnyi sugárral rajzolt kört választjuk. Ennek egyenlete . Válasszuk továbbá a pontot -nek és legyen a pont . Ilyen választás mellett a további pontok koordinátái is racionális számok lesznek. Az és egyenesek rajzlapunkról kieső metszéspontjának koordinátáira az egyenesek egyenletéből álló egyenletrendszert megoldva adódik, a keresett egyenes egyenlete tehát , és azt kell megmutatnunk, hogy a és egyenesek metszéspontja ezen az egyenesen van. Az itt szereplő pontok koordinátái:
1. ábra A és egyenesek egyenletei, majd metszéspontjuk koordinátái:
abszcisszáját az egyenes egyenletének jobb oldalába helyettesítve | | azt kaptuk tehát, hogy valóban az egyenesen van, s így és összekötésével a keresett egyenest kapjuk.
Antal Magdolna (Budapest, Varga K. lg. III. o. t.) Megjegyzés. Az -es és -es indexű pontok a szerkesztésben különböző szerepet kapnak. Ha tehát pl. -et felcseréljük -vel, egy más -et kapunk. Hasonló számítás mutatja, hogy az így adódó egyenes is azonos -nel, azonban lehetséges, hogy is kiesik a rajzlapról. II. megoldás. Megmutatjuk, hogy a leírt szerkesztés a sík bármely , egyenespárjához és bármely ponthoz meghatározza az egyenest, ahol az , egyenesek közös pontja. A bizonyításban a 2. ábrán bemutatott helyzetre szorítkozunk. Hajtsuk végre a szerkesztést egy körből kiindulva és a , , valamint , pontpárban az indexek egy bizonyos megválasztása mellett, majd vegyünk helyett egy a , pontokon átmenő más kört, és legyenek az ebből adódó további pontok rendre , , , , . A és húrnégyszögek -nél, ill. -nél levő szögei közösek, ezért -nél és -nél, valamint -nél és -nél levő szögeik páronként egyenlők, tehát párhuzamos -vel. 2. ábra Hasonlóan és , így a háromszög oldalai rendre párhuzamosak a háromszög megfelelő oldalával, e két háromszög hasonló helyzetű. A hasonlósági középpont , a és egyenesek metszéspontja, itt megy tehát át az egyenes is, ennélfogva helyére bármely más a , pontokon átmenő kört véve mindig az egyenesen adódik. Az egyenes átmegy -en, mert alkalmas kört véve is kiadódik gyanánt: helyére a , , pontokon átmenő kört véve és azonos -nel, tehát ebben az esetben a és egyenesek metszéspontja .
Veres Ferenc (Miskolc, Kilián Gy. g. III. o. t.) Megjegyzés. A II. megoldásban (legalábbis a pontoknak az ábrán látható elrendezése mellett) a következő tételt bizonyítottuk: Ha , , , , , a kör pontja, akkor a ,,szemben fekvő'' és , és , és egyenespárok metszéspontjai egy egyenesen vannak. (Esetünkben a pont , , , , , , a metszéspontok , és .) A tétel kör helyén tetszés szerinti kúpszeletre is érvényes, Pascal-tétel néven ismeretes.
Hirka András (Pannonhalma, Benedek-rendi g. III. o. t.) Lásd pl. Tankönyvkiadó Vállalat (Budapest) következő Középiskolai Szakköri Füzeteiben: Schopp János: Kúpszeletek (1955) 71. o. és Vigassy Lajos: Síkmértani szerkesztések térmértani megoldással (1957) 32. o. |
|