Kezdőlap


Feladat:	1238. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Antal Magdolna , Deák István , Földeáki Mária , Földes Antónia , Gyárfás András , Hirka András , Horváth J. , Lukács Lídia , Makai Endre , Pelikán József , Somos Péter , Szepesvári Gy. , Szilágyi Tivadar , Tamás Endre , Tihanyi László , Veres Ferenc
Füzet:	1964/május, 199 - 201. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Középpontos és egyéb hasonlósági transzformációk, Egyenesek egyenlete, Kör egyenlete, Kúpszeletek, Húrnégyszögek, Hozzáférhetetlenségi szerkesztések síkban, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/március: 1238. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az összekötő egyenes megszerkesztéséhez célszerű lesz alkalmasan választani a $k$ kört. Mivel $e_{1}$ átmegy a $(- 1; 0)$ ponton, $e_{2}$ pedig a $(0; - 1)$ ponton, egyszerű számítás várható, ha $k$ -nak az $O$ origó körül egységnyi sugárral rajzolt kört választjuk. Ennek egyenlete $x^{2} + y^{2} - 1 = 0$ . Válasszuk továbbá a $(- 1; 0)$ pontot $B_{1}$ -nek és legyen a $(0; - 1)$ pont $C_{1}$ . Ilyen választás mellett a további pontok koordinátái is racionális számok lesznek.
Az $e_{1}$ és $e_{2}$ egyenesek rajzlapunkról kieső $N$ metszéspontjának koordinátáira az egyenesek egyenletéből álló egyenletrendszert megoldva

\begin{matrix} x_{N} = 385 / 27, y_{N} = 309 / 27 \end{matrix}

adódik, a keresett

O N

egyenes egyenlete tehát

y = 309 x / 385

, és azt kell megmutatnunk, hogy a

C_{2} D

és

B_{2} E

egyenesek metszéspontja ezen az egyenesen van. Az itt szereplő pontok koordinátái:

\begin{matrix} B_{2} : (\frac{7}{25}, \frac{24}{25}), C_{2} : (\frac{55}{48} \cdot \frac{4608}{5329}, - \frac{721}{5329}) = (\frac{5280}{5329}, - \frac{721}{5329}), \\ E : (0; 1), D : (1; 0) . \end{matrix}

1. ábra

C_{2} D

és

B_{2} E

egyenesek egyenletei, majd

M

metszéspontjuk koordinátái:

\begin{matrix} C_{2} D : y = \frac{721}{49} (x - 1) = \frac{103}{7} (x - 1), B_{2} E : y - 1 = - \frac{1}{7} x, \\ M : (\frac{55}{52}, \frac{103 \cdot 3}{7 \cdot 52}) . \end{matrix}

M

abszcisszáját az

O N

egyenes egyenletének jobb oldalába helyettesítve

\begin{matrix} \frac{309}{385} x_{M} = \frac{309}{385} \cdot \frac{55}{52} = \frac{309}{7 \cdot 52} = y_{M}, \end{matrix}

azt kaptuk tehát, hogy

M

valóban az

O N

egyenesen van, s így

O

és

M

összekötésével a keresett egyenest kapjuk.

Antal Magdolna (Budapest, Varga K. lg. III. o. t.)

Megjegyzés. Az

1

-es és

2

-es indexű pontok a szerkesztésben különböző szerepet kapnak. Ha tehát pl.

C_{1}

-et felcseréljük

C_{2}

-vel, egy más

M_{1}

-et kapunk. Hasonló számítás mutatja, hogy az így adódó

O M_{1}

egyenes is azonos

O N

-nel, azonban lehetséges, hogy

M_{1}

is kiesik a rajzlapról.

II. megoldás. Megmutatjuk, hogy a leírt szerkesztés a sík bármely

e_{1}

e_{2}

egyenespárjához és bármely

O

ponthoz meghatározza az

O N

egyenest, ahol

N

e_{1}

e_{2}

egyenesek közös pontja. A bizonyításban a 2. ábrán bemutatott helyzetre szorítkozunk.
Hajtsuk végre a szerkesztést egy

k

körből kiindulva és a

B_{1}

B_{2}

, valamint

C_{1}

C_{2}

pontpárban az indexek egy bizonyos megválasztása mellett, majd vegyünk

k

helyett egy a

B_{1}

C_{1}

pontokon átmenő más

k'

kört, és legyenek az ebből adódó további pontok rendre

B'_{2}

C'_{2}

D'

E'

M'

. A

B_{1} C_{1} E D

és

B_{1} C_{1} E' D'

húrnégyszögek

B_{1}

-nél, ill.

C_{1}

-nél levő szögei közösek, ezért

E

-nél és

E'

-nél, valamint

D

-nél és

D'

-nél levő szögeik páronként egyenlők, tehát

D' E'

párhuzamos

D E

-vel.

2. ábra

Hasonlóan

E' B'_{2} ∥ E B_{2}

és

D' C'_{2} ∥ D C_{2}

, így a

D' E' M'

háromszög oldalai rendre párhuzamosak a

D E M

háromszög megfelelő oldalával, e két háromszög hasonló helyzetű. A hasonlósági középpont

O

, a

D D'

és

E E'

egyenesek metszéspontja, itt megy tehát át az

M M'

egyenes is, ennélfogva

k'

helyére bármely más a

B_{1}

C_{1}

pontokon átmenő kört véve

M'

mindig az

O M

egyenesen adódik.
Az

O M

egyenes átmegy

N

-en, mert alkalmas kört véve

N

is kiadódik

M'

gyanánt:

k

helyére a

B_{1}

C_{1}

N

pontokon átmenő

k^{*}

kört véve

B_{2}^{*}

és

C_{2}^{*}

azonos

N

-nel, tehát ebben az esetben a

C_{2}^{*} D^{*}

és

B_{2}^{*} E^{*}

egyenesek metszéspontja

N

Veres Ferenc (Miskolc, Kilián Gy. g. III. o. t.)

Megjegyzés. A II. megoldásban (legalábbis a pontoknak az ábrán látható elrendezése mellett) a következő tételt bizonyítottuk: Ha

A_{1}

A_{2}

A_{3}

A_{4}

A_{5}

A_{6}

a kör

6

pontja, akkor a ,,szemben fekvő''

A_{1} A_{2}

és

A_{4} A_{5}

A_{2} A_{3}

és

A_{5} A_{6}

A_{3} A_{4}

és

A_{6} A_{1}

egyenespárok metszéspontjai egy egyenesen vannak. (Esetünkben a

6

pont

B_{1}

B_{2}

E

C_{1}

C_{2}

D

, a metszéspontok

N

M

és

O

.) A tétel kör helyén tetszés szerinti kúpszeletre is érvényes, Pascal-tétel néven ismeretes.¹

Hirka András (Pannonhalma, Benedek-rendi g. III. o. t.)

¹Lásd pl. Tankönyvkiadó Vállalat (Budapest) következő Középiskolai Szakköri Füzeteiben: Schopp János: Kúpszeletek (1955) 71. o. és Vigassy Lajos: Síkmértani szerkesztések térmértani megoldással (1957) 32. o.