|
Feladat: |
1236. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Báthory Anna , Berecz Ágota , Csirik József , Deák István , Dobó Ferenc , Érdi Bálint , Fekete Sándor , Földeáki Mária , Földes Antónia , Gálfi I. , Gyárfás A. , Haáder Lea , Hirka András , Hoffmann P. , Káldor Éva , Kiss Katalin , Komor Tamás , Koska Á. , Kőszegi László , Kuzmann E. , Lovász László , Lukács Lídia , Makai Endre , Malatinszky Géza , Máltai L. , Marosi Judit , Nagy Angéla , Nagy Klára , Nárai György , Naszályi F. , Papp M. , Pelikán József , Rejtő Lídia , Seszták E. , Siket Aranka , Somos Péter , Szalay András , Széchy G. , Szilágyi Tivadar , Tamás Endre , Tihanyi László , Vadász Péter , Vaskövi I. , Veres Ferenc , Zentai T. |
Füzet: |
1963/december,
206 - 207. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek hasonlósága, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Súlyvonal, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1963/március: 1236. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. Jelöljük az , , oldallal szemben fekvő csúcsot -val, -vel, ill. -vel és a belőlük kiinduló súlyvonalat rendre , , -vel. Két különböző oldalhoz tartozó súlyvonal közül a nagyobbik oldalhoz tartozó a kisebb. Ha ugyanis pl. , akkor a csúcs és vele együtt az súlyvonal is az szakasz felező merőlegesének ugyanazon az oldalán van, mint a csúcs. Ez áll az súlypontra is, tehát Így a feltevés szerint , a súlyvonalak alkotta háromszög tehát csak úgy lehet hasonló az eredetihez, ha Ismeretesek az oldalak és súlyvonalak közt a következő összefüggések: | | (2) | Az (1)-ből adódó aránypárt négyzetre emelve a következő egyenlőséget kapjuk: | | A törteket eltávolítva és hatványai szerint rendezve | | Ez -re vonatkozóan másodfokú egyenlet, aminek a diszkriminánsa | | s így ‐ a -re adódó megoldások közül csak a pozitívot véve ‐ | | (3) | Ezzel a gyökkel (2) alapján | | tehát ez esetben valóban fennáll (1). Egyszersmind azt is találtuk, hogy a súlyvonalakból képezett háromszög arányú kicsinyítettje az eredetinek. Most már (3) alapján és -tel , és ezek lehetnek egy háromszög oldalai.
II. A (3)-at és az feltételt teljesítő, legkisebb pozitív egész számhármas: , , ‐ ugyanis helyén 1, 2, 3, 4-gyel nem bontható fel két különböző természetes szám négyezetének összegére ‐, ezek azonban nem lehetnek egy háromszög oldalai. További próbálgatással nyerjük elsőnek a 7, 13, 17 számhármast, amelyből már szerkeszthető háromszög.
Hirka András (Pannonhalma, Benedek‐rendi g. III. o. t.)
Megjegyzések. 1. A súlyvonalakra nyert nagyságviszonyok érvényben maradnak, ha a feltétel helyett -ből indulunk ki. Mindkét nagyságviszonyban egyenlőséget véve (3) teljesül, de közvetlenül is belátjuk, hogy a szabályos háromszög súlyvonalaiból szerkesztett háromszög szabályos, és hogy az oldalak aránya .
2. A (3) egyenlőséget átrendezve | | Ha , , egész, akkor e törtek értéke racionális szám és 1-nél nagyobb, mert , s így . A tört legegyszerűbb alakjában a számlálót és nevezőt , -vel jelölve és , relatív prímek, | | A két egyenletből -t, ill. -t kiküszöbölve a maradó két oldal arányára | | adódik. Így | | egész megoldása a feladatnak és közös osztó nélküli egészek, ha és közül egyik páros, másik páratlan.
Berecz Ágota (Makó, József A. g. III. o. t.) Lásd pl. 752. gyakorlat, K. M. L. 25 (1962/11) 149.o. |
|