Kezdőlap


Feladat:	1233. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Halmai László
Füzet:	1963/november, 137. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Logaritmusos egyenletek, Paraméteres egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/március: 1233. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minthogy $k$ pozitív, (1) így alakítható át:

\begin{matrix} p_{k} = \frac{k log (log x^{k})}{k log x} = \frac{log (log x^{k})}{log x} . \end{matrix}

(3)

Képezzük a (2) összeg

k

-adik tagjának logaritmusát az (1)-ben használt

a

alapszámra, és írjuk be (3)-at:

\begin{matrix} log x^{p_{k}} = p_{k} log x = log (log x^{k}) . \end{matrix}

Csak egyenlő számok logaritmusa lehet egyenlő ‐ természetesen ugyanazon alap mellett ‐, mert a szám növelésével logaritmusa is növekszik, ha az alap 1-nél nagyobb, és a szám növelésével logaritmusa csökken, ha az alap 0 és 1 közti szám. Így az előbbi egyenlőségből következik, hogy

\begin{matrix} x^{p_{k}} = log x^{k} = k log x . \end{matrix}

(4)

Ezt

k = 1

, 2,

...

n

-nel alkalmazva (2) bal oldala

\begin{matrix} (1 + 2 + ... + n) log x = \frac{n (n + 1)}{2} log x = \frac{n}{2} log x^{n + 1} = \frac{n}{2} x^{p_{n + 1}}, \end{matrix}

egyenlő a jobb oldallal, tehát az állítás helyes.
(1) nevezője létezik és

0

-tól különböző, ha

x

az 1-től különböző pozitív szám. A számlálóban

log x^{k}

-nak is pozitívnak kell lennie, de lehet 1-gyel egyenlő is, ennélfogva

log x

is csak pozitív szám lehet. Ha tehát

a > 1

, akkor (2) csak

x > 1

esetén áll fenn, ha pedig

0 < a < 1

, akkor csak

0 < x < 1

esetén.

Halmai László (Esztergom, Temesvári Pelbárt g. III. o. t.)
dolgozatából, kiegészítéssel.

Megjegyzés. A dolgozatok nem vizsgálják az előforduló kifejezések létezésének feltételeit.