Kezdőlap


Feladat:	1231. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szlobodnyik Lajos
Füzet:	1963/november, 136. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Négyszög alapú egyéb hasábok, Térfogat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/február: 1231. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nyilvánvaló, hogy $a > b$ és $c < d$ . A $K$ kivágás szimmetrikus az építendő út tengelyén átmenő függőleges síkra, mert a határoló síklapok egyenlő lejtésűek. Vágjuk szét $K$ -t az út határvonalain átmenő két függőleges síkkal. A közéjük eső rész fekvő hasáb, keresztmetszete azonos a töltésével, véglapjainak távolsága $c$ , így térfogata

\begin{matrix} K_{1} = \frac{(a + b) m}{2} \cdot c . \end{matrix}

A további két ékszerű, lefelé szűkülő rész egymással egybevágó, felső határlapjuk téglalap, méretei

b

és

(d - c) / 2

. Vágjuk szét őket a töltés felső élein átmenő függőleges síkokkal. A síkok között egy fekvő hasáb keletkezik, keresztmetszete derékszögű háromszög

m

és

(d - c) / 2

befogókkal, oldaléleinek hossza

b

. A síkok külső oldalán pedig 1‐1 háromoldalú gúla keletkezik, egymással egybevágók, alapjuknak az előbbi derékszögű háromszögeket véve magasságuk (fekvő helyzetben)

(a - b) / 2

. Így egy ék térfogata

\begin{matrix} K_{2} = \frac{m (d - c) b}{4} + 2 \frac{m (d - c)}{4} \cdot \frac{a - b}{6}, \end{matrix}

a kiemelendő földszelvény térfogata pedig

\begin{matrix} K = K_{1} + 2 K_{2} = \frac{m}{2} [(a + b) c + (d - c) b + \frac{(d - c) (a - b)}{3}] = \\ = \frac{m}{6} (2 a c + 2 b d + a d + b c) . \end{matrix}

Szlobodnyik Lajos (Fót, Szakközépisk. autó tag. III. o. t.)