Kezdőlap


Feladat:	1228. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Tihanyi László
Füzet:	1964/január, 7 - 9. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenség-rendszerek grafikus megoldása, Lineáris programozás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/február: 1228. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az űrhajós napi tervezett fogyasztása az $A$ ételből $x$ gramm, a $B$ ételből $y$ gramm. Így $0, 4 (x + y)$ g szénhidrátot, $0, 5 y$ g zsiradékot, $0, 2 x$ g fehérjét és $0, 4 x + 0, 1 y$ g vizet vesz magához, és a háromféle tápanyag kalóriaértéke rendre $1, 6 (x + y)$ , $5 y$ , ill. $1, 6 x$ kalória.
Másrészt a kalóriaszükséglet eloszlási aránya szerint szénhidrátban legalább 2400, zsiradékban és fehérjében egyenként legalább 1200 kalóriát kell felvennie, ennélfogva a szükséglet biztosítására $x$ -et és $y$ -t az alábbi egyenlőtlenségrendszernek megfelelően kell megválasztanunk:

\begin{matrix} 0, 4 x + 0, 1 y & \geq 400 (víz), 1, 6 (x + y) \geq 2400 (szénhidrát), \\ 5 y & \geq 1200 (zsír), 1, 6 x \geq 1200 (fehérje) . \end{matrix}

A lehetséges egyszerűsítésekkel az utóbbi három egyenlőtlenségben minden együttható 1 lesz; ezeket puszta számnak tekintve a jobb oldalak mértékegysége gramm lesz.

\begin{matrix} 4 x + y & \geq 4000, & (1) \\ x + y & \geq 1500, & (2) \\ y & \geq 240, & (3) \\ x & \geq 750. & (4) \end{matrix}

Az I. kérdésre (2) azonnal ad egy alsó korlátot, mert bal oldalán éppen az elviendő

x + y

ételmennyiség áll. (Annak a véletlennek a következménye ez, hogy az

A

és

B

ételek ugyanannyi

%

szénhidrátot tartalmaznak.) Ez az alsó korlát összeegyeztethető a további három egyenlőtlenséggel. Ha ugyanis

x + y = 1500

, akkor (1)-ből

3 x \geq 2500

, egész grammra való felkerekítéssel

x \geq 834

, ezért

y \leq 666

, és ezek (4), ill. (3) szerint megfelelő értékek. Másrészt (3) miatt

x \leq 1260

, ennélfogva az összesen 1500 g ételmenynyiség

A

-ra és

B

-re így oszlik meg:

\begin{matrix} 834 \leq x \leq 1260, 666 \geq y \geq 240. \end{matrix}

(5)

Majdnem ilyen egyszerűen kapunk választ a II. kérdésre. Az

y

grammnyi

B

-adag térfogata

y