Kezdőlap


Feladat:	1226. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Máté Zoltán
Füzet:	1963/december, 204. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számtani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/február: 1226. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kérdéses $h$ hányados számlálója bármely sorozat esetére a tagok összege a $k + r$ -ik tagig, de csak a kivont részletösszeg utolsó tagja utáni tagtól, a $k - r + 1$ -ik tagtól kezdve:

\begin{matrix} s_{k + r} - s_{k - r} = a_{k - r + 1} + a_{k - r + 2} + ... + a_{k} + a_{k + 1} + ... + a_{k + r} . \end{matrix}

Ha az

a_{1}

a_{2}

...

a_{k}

...

sorozat számtani sorozat, akkor a kérdéses összeg egyenlő az első és utolsó figyelembe vett tag összegéből és a tagok számának feléből képezett szorzattal. Itt a tagok száma:

(k + r) - (k - r) = 2 r

, így

\begin{matrix} s_{k + r} - s_{k - r} = (a_{k - r + 1} + a_{k + r}) r . \end{matrix}

A kérdéses hányados pedig

\begin{matrix} h = a_{k - r + 1} + a_{k + r} . \end{matrix}

A számtani sorozat összegképletének megállapítása során felhasználtuk azt az észrevételt, hogy az elejétől és a végétől számított ugyanannyiadik tagok összege annyi, mint az első és az utolsó tag összege. Alkalmazzuk ezt a szóban forgó rész‐sorozat középső két tagjára, amelyek sorszáma mindkét irányból

r

. Így a

k - r + 1

index helyére az

(r - 1)

-gyel nagyobb

k

lép, a

k + r

index helyére pedig az

(r - 1)

-gyel kisebb

k + 1

, tehát

\begin{matrix} h = a_{k} + a_{k + 1} . \end{matrix}

Ez valóban független

r

-től.

Máté Zoltán (Bonyhád, Petőfi S. g. IV. o. t.)

Megjegyzés. Lényegében egyezik ezzel a számtani sorozat képleteinek alkalmazásával történő megoldás is, miután a képletek ugyanezeket a gondolatokat használják fel (ezért a megoldások nem különbözők a fentitől).