Kezdőlap


Feladat:	1225. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Berkes István , Csirik János , Érdi Bálint , Feles P. , Fodor Zsuzsa , Folly Gábor , Friss Ilona , Földeáki Mária , Földes Antónia , Gyárfás András , Harkányi Gábor , Kőszegi László , Lakó F. , Lánc József , Lehel Jenő , Lovász László , Major János , Makai Endre , Marosi Judit , Molnár L. , Nárai György , Papp L. , Pelikán József , Rejtő Lídia , Sófalvi M. , Somos Péter , Szajcz M. , Szidarovszky Ferenc , Szilágyi Tivadar , Tamás Endre , Treer Mária
Füzet:	1963/december, 203. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/február: 1225. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egyszerűsítés végett legyen átmenetileg:

\begin{matrix} a + b = x, b + c = y, c + a = z . \end{matrix}

Ezekkel részbeni beszorzás és alkalmas átcsoportosítás után kiemelhető az

x + 2 y

tényező:

\begin{matrix} K = 2 x y (x + 2 y) + 2 y z (y + 2 z) + 2 z x (z + 2 x) + 9 x y z = \\ = 2 x y (x + 2 y) + (2 y^{2} z + x y z) + (2 x z^{2} + 4 y z^{2}) + (4 x^{2} z + 8 x y z) = \\ = 2 x y (x + 2 y) + y z (x + 2 y) + 2 z^{2} (x + 2 y) + 4 x z (x + 2 y) = \\ = (x + 2 y) (y z + 2 x y + 2 z^{2} + 4 x z) . \end{matrix}

A második tényező további kiemeléssel:

\begin{matrix} y (z + 2 x) + 2 z (z + 2 x) = (y + 2 z) (z + 2 x), \end{matrix}

ennélfogva az eredeti változókat visszavéve

\begin{matrix} K = (x + 2 y) (y + 2 z) (z + 2 x) = \\ = (a + 3 b + 2 c) (b + 3 c + 2 a) (c + 3 a + 2 b) . \end{matrix}

Kőszegi László (Baja, III. Béla g. IV. o. t.)

Megjegyzés: Ha az

x

y

z

jelölések bevezetése után a kifejezést

x

hatványai szerint rendezzük,

\begin{matrix} (2 y + 4 z) x^{2} + (4 y^{2} + 9 y z + 2 z^{2}) x + (2 y^{2} z + 4 y z^{2}) \end{matrix}

adódik. Itt az első és utolsó tag osztható

y + 2 z

-vel és kipróbálás mutatja, hogy a középső is. A kiemelés után maradó kifejezésnek

x

-re a 0-helyeit megkeresve eljutunk ismét a fönt nyert felbontáshoz.

Lehel Jenő (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. IV. o. t.)