|
Feladat: |
1223. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Andor Gy. , Bak Zsuzsa , Csirik János , Csörnyei Z. , Deák István , Dobó Ferenc , Érdi Bálint , Faragó K. , Fodor Zsuzsa , Földeáki Mária , Földes Antónia , Gyárfás András , Horváth József , Jankó Katalin , Keresszegi Hajnalka , Kóbor Gy. , Komor Tamás , Kovács László , Lehel Jenő , Lukács Lídia , Lux I. , Makai Endre , Márki László , Markó J. , Minárik László , Mód G. , Nárai György , Papp M. , Pelikán József , Raisz Miklós , Rigó Éva , Róna Gy. , Róna György , Somos Péter , Sós F. , Szidarovszky Ferenc , Szilágyi Tivadar , Udvardy A. , Veres Ferenc |
Füzet: |
1963/november,
130 - 132. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek hasonlósága, Egyéb sokszögek hasonlósága, Téglatest, Térelemek és részeik, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1963/január: 1223. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A kívánt összeillesztés kétféleképpen lehetséges:
I. az szakasz -en túli meghosszabbításán van, vagy
II. az szakaszra kerül . A két helyzet egymásból mint tengely körüli -os elforgatással áll elő.
Az , , és lapok mindkét helyzetben párhuzamosak (beleértve azt is, hogy esetleg egy síkban vannak), mégpedig úgy, hogy a megfelelő éleik is párhuzamosak (tehát pl. ).) A feladatban szereplő egyenesek ‐ beleértve az egyenest is ‐ az első és második, ill. a harmadik és negyedik téglalap megfelelő csúcsainak összekötő egyenesei. Ha ezek egy ponton mennének keresztül, az azt jelentené, hogy a két paralelogrammapár hasonló helyzetű lenne az pontra, mint hasonlósági középpontra nézve, s így hasonlók lennének. Azonban a megfelelő oldalpárok aránya: | | különböző, nem egyszerűsíthető törtekkel fejezhető ki, s így nem egyenlő. (Különbségük .) Így nem mehetnek át a szóban forgó egyenesek egy ponton, sőt már a , , sem metszheti ugyanabban a pontban -et, sem a , és egyenesek.
Raisz Miklós (Miskolc, Földes F. g. IV. o. t.)
Megjegyzések. 1. A tagadó választ természetesen könnyű annak megmutatásával megadni, hogy két egyenes különböző pontokban metszi -et. Kiszámíthatjuk pl. alkalmas hasonló háromszögpárokból a , , , egyenesek -gyel való , , , metszéspontjának távolságát -től, és kiderül, hogy mind a négy metszéspont különböző (bár az I. helyzetben igen közel esnek egymáshoz).
2. Nem nehéz belátni, hogy ha a téglalapok nem hasonlók, akkor nem is metszheti mindegyik egyenes -et. Viszont elég már egy -et nem metsző egyenest megadni a tagadó válaszhoz, mint az alábbi megoldásban történik.
II. megoldás. A feladat kérdésére a válasz tagadó, ugyanis a egyenes nem is metszi -et (és a sem). A egyenes vetülete az síkra a egyenes, a síkra merőleges egyenesé pedig az pont. Ha és metszenék egymást, ekkor átmenne -en. Ez az I. megoldásban leírt II. helyzetben nyilván lehetetlen, mert a -os szögtartomány belsejében van, viszont a pont és vele együtt a egyenes is azon kívül. Az I. helyzetben, ha átmenne -en, akkor az és háromszögek hasonlóak volnának. Azonban megfelelő oldalpárjaik arányára | | tehát a kérdéses metszéspont most sem létezik. (Mivel a vetülete az síkra ugyancsak a egyenes, így az sem metszheti -et.)
Makai Endre (Budapest, Eötvös J. g. II. o. t.) Megjegyzés. Az a tény, hogy az , és arányok értéke közelítőleg egyenlő (3 értékes jegyre kerekítve ), azt jelenti, hogy az | | szakaszok mértékszámai közelítőleg egyenlők egy mértani sorozat négy egymás utáni tagjával. E sorozat hányadosát -val jelölve a negyedik tagra egyrészt közelítőleg , másrészt pontosan . Az arányok akkor volnának egyenlők, ha | | volna, ekkor | | Eszerint a fenti , , , pontok az I. helyzetben azért esnek egymáshoz közel, mert az eredeti test élméretei a , , értékek egészre kerekített értékei, ezért a felezéssel nyert jó közelítéssel hasonló az eredeti testhez, ugyanígy a -höz. A feladat a szabványos rajzpapírméretek között közelítően fennálló hasonlóság térbeli megfelelője. Az jelű, mm méretű ( területű) papírból a hosszabb oldal felébe hajtásával előálló mm méretű téglalap jó közelítéssel hasonló az eredetihez (területe ; jele ). További ilyen felezésekkel állnak elő az , , , jelű, , , , mm méretű szabványos papírméretek, és jó közelítéssel a sorozat összes tagjai hasonlók, hosszuk közelítőleg -szerese a szélességüknek, és a szélességük -szer akkora, mint a hosszúságuk fele. |
|