Kezdőlap


Feladat:	1220. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Folly Gábor , Friss Ilona , Földes Antónia , Lehel Jenő , Lovász László , Székely Gábor , Szidarovszky Ferenc , Szilágyi Tivadar
Füzet:	1963/november, 123 - 124. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/január: 1220. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $x$ -et és a $p$ -t tartalmazó tagokat egyelőre egy zárójelbe foglalva az egyenlet így írható:

\begin{matrix} \frac{2 (x - p) + q}{2 (x - p) - q} = \frac{2 q + (x + p)}{2 q - (x + p)} . \end{matrix}

Ezt a két nevező szorzatával szorozva ‐ feltéve természetesen, hogy a szorzat nem 0 ‐ két‐két tag kiesik:

\begin{matrix} 2 q^{2} - 2 (x^{2} - p^{2}) = - 2 q^{2} + 2 (x^{2} - p^{2}), x^{2} = p^{2} + q^{2} . \end{matrix}

A szorzással gyököt nem veszthettünk el, ennélfogva az egyenletet csak az

\begin{matrix} x_{1} = \sqrt[]{p^{2} + q^{2}}, x_{2} = - \sqrt[]{p^{2} + q^{2}} \end{matrix}

(2)

számok elégíthetik ki, vagy pedig az egyenletnek nincs megoldása.
A feladat követelménye csak a következő két módon teljesülhet:

x_{1}

és

x_{2}

nem különbözők:

x_{1} = x_{2} = 0

, és ez kielégíti az egyenletet. Azonban a (2) kifejezések csak a

p = q = 0

értékpárral válhatnak 0-vá (csak valós

p

q

számokat veszünk figyelembe), viszont

x = p = q = 0

-val az adott egyenlet mindkét oldala értelmetlen. Ez a mód nem vezet célba.
II.

x_{1}

és

x_{2}

egyike megoldás, másika nem, mert mellette az egyenletnek nincs értelme.

a) A bal oldali tört értelmetlenné válik, ha

\begin{matrix} x^{*} = p + \frac{q}{2}, \end{matrix}

keressünk tehát olyan

p

q

értékpárt, amelyre

x_{1}

és

x_{2}

egyike egyenlő

x^{*}

-gal:

\begin{matrix} \pm \sqrt[]{p^{2} + q^{2}} = p + \frac{q}{2} . \end{matrix}

Innen a szokásos lépésekkel

\begin{matrix} q^{2} = p q + \frac{q^{2}}{4}, q (p - \frac{3 q}{4}) = 0, tehát \end{matrix}

a_{1}

) aleset: vagy

q = 0

, és

p

bármely szám ‐ kivéve az I-ben már kizárt

p = 0

értéket ‐,

a_{2}

) aleset: vagy

p = 3 q / 4

, továbbá ismét

q \neq 0

.
Az

a_{1}

) alesetben (2) így alakul:

x_{1} = p

‐ ez éppen a kizárt

x^{*}

érték ‐, másrészt

x_{2} = - p

, ennek kellene lennie az egyetlen gyöknek. Azonban

x_{2} = - p

-vel (1) jobb oldala értelmetlen, itt tehát nem kapunk megfelelő

p

q

számpárt.
Az

a_{2}

) alesetben

x^{2} = 25 q^{2} / 16

, viszont a kizárt érték

x^{*} = 5 q / 4

, ennélfogva az egyetlen megoldás csak a következő érték lehet:

\begin{matrix} x = - \frac{5 q}{4} . \end{matrix}

(3)

Ezzel (1) bal és jobb oldala

\begin{matrix} \frac{- \frac{5 q}{2} - \frac{3 q}{2} + q}{- \frac{5 q}{2} - \frac{3 q}{2} - q} = \frac{3}{5}, ill. \frac{2 q + \frac{3 q}{4} - \frac{5 q}{4}}{2 q - \frac{3 q}{4} + \frac{5 q}{4}} = \frac{3}{5}, \end{matrix}

tehát (3) valóban megoldás.
b) Hasonlóan (1) jobb oldala értelmetlenné válik, ha

\begin{matrix} x^{* *} = 2 q - p . \end{matrix}

x_{1,2} = x^{* *}

követelés

q (3 q - 4 p) = 0

-ra vezet, vagyis az a) eset feltételeire, így nem kapunk új megfelelő

p

q

számpárt.
Ezek szerint a feladat követelménye azokra és csak azokra a

p

q

értékpárokra teljesül, amelyekre

p : q = 3 : 4

és

q \neq 0

. Ezen értékpárokra az egyenlet egyetlen megoldása

x = - 5 q / 4

, másképpen

x = - 5 p / 3

Lehel Jenő (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. IV. o. t.)