Kezdőlap


Feladat:	1219. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Lovász László
Füzet:	1963/november, 122 - 123. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek nevezetes tételei, Terület, felszín, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/január: 1219. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Az $a_{1}$ , $b_{1}$ , $c_{1}$ oldalhosszakkal szerkesztett háromszög $t_{1}$ területe Heron tételével

\begin{matrix} t_{1} = \sqrt[]{\frac{3 b_{1}}{2} \cdot \frac{b_{1} + 2}{2} \cdot \frac{b_{1}}{2} \cdot \frac{b_{1} - 2}{2}} = \frac{b_{1}}{4} \sqrt[]{3 (b_{1}^{2} - 4)}, \end{matrix}

és ez a feltevés szerint egész szám. Hasonlóan az

a_{2} = b_{2} - 1 = b_{1}^{2} - 3

b_{2} = b_{1}^{2} - 2

c_{2} = b_{1}^{2} - 1

oldalhosszakkal szerkesztett háromszög

t_{2}

területe

\begin{matrix} t_{2} = \sqrt[]{\frac{3 b_{1}^{2} - 6}{2} \cdot \frac{b_{1}^{2}}{2} \cdot \frac{b_{1}^{2} - 2}{2} \cdot \frac{b_{1}^{2} - 4}{2}} = \frac{b_{1} (b_{1}^{2} - 2)}{4} \sqrt[]{3 (b_{1}^{2} - 4)} = \\ = (b_{1}^{2} - 2) t_{1} = b_{2} t_{1}, \end{matrix}

a feltevések szerint valóban egész szám.
Eszerint az első háromszög felhasznált tulajdonságait ‐ ti. a rendezett oldalhosszak 1 egységenként való növekedését és a terület egész voltát ‐ a második háromszög örökölte. Ezért a belőle hasonlóan képezett

\begin{matrix} a_{3} = b_{3} - 1 = b_{2}^{2} - 3, b_{3} = b_{2}^{2} - 2, c_{3} = b_{3} + 1 = b_{2}^{2} - 1 \end{matrix}

oldalhosszakkal szerkesztett háromszög területe is egész szám, és az eljárás ismétlésével akárhány ilyen háromszög felírható.¹
II.

b_{1} = 4

-gyel a további két oldalhármas 13, 14, 15, ill. 193, 194, 195.
Az első háromszög derékszögű, szögei:

\begin{matrix} α_{1} \approx 36, 9^{\circ}, β_{1} \approx 53, 1^{\circ}, γ_{1} = 90^{\circ} . \end{matrix}

A második háromszög szögei a koszinusz tételből:

\begin{matrix} α_{2} \approx 53, 1^{\circ}, β_{2} \approx 59, 5^{\circ}, γ_{2} \approx 67, 4^{\circ} . \end{matrix}

α_{2}

és

β_{1}

egyenlősége nem véletlen. Ugyanis általában

\begin{matrix} cos β_{1} & = \frac{a_{1}^{2} + c_{1}^{2} - b_{1}^{2}}{2 a_{1} c_{1}} = \frac{b_{1}^{2} + 2}{2 (b_{1}^{2} - 1)} (= \frac{b_{2} + 4}{2 (b_{2} + 1)}), és \\ cos α_{2} & = \frac{b_{2}^{2} + c_{2}^{2} - a_{2}^{2}}{2 b_{2} c_{2}} = \frac{b_{1}^{4} - 4}{2 (b_{1}^{2} - 2) (b_{1}^{2} - 1)} = \frac{b_{1}^{2} + 2}{2 (b_{1}^{2} - 1)} . \end{matrix}

Így a harmadik háromszögben csak

β_{3}

-at és

γ_{3}

-at számítjuk. Hasonlóan általában

\begin{matrix} cos γ_{2} = \frac{b_{1}^{2} - 6}{2 (b_{1}^{2} - 3)} = \frac{a_{2} - 3}{2 a_{2}} . \end{matrix}

cos β_{3} \approx 0, 5000

(lekerekítéssel), így

β_{3} \approx 60, 0^{\circ}

(felkerekítéssel),

γ_{3} \approx 60, 5^{\circ}

.
Végül az 51, 52, 53 oldalhármasból:

\begin{matrix} α \approx 58, 1^{\circ}, β \approx 60, 0^{\circ} (felkerekítéssel), γ \approx 61, 9^{\circ} . \end{matrix}

Ez a háromszög az oldalak nagyságát tekintve beilleszthető a fenti második és harmadik háromszög közé, és ekkor szögei is a megfelelő szögek közé esnek:

\begin{matrix} b: & 4, & 14, & 52, & 194; \\ α: & 36, 9^{\circ}, & 53, 1^{\circ}, & 58, 1^{\circ}, & 59, 5^{\circ}; \\ β: & 53, 1^{\circ}, & 59, 5^{\circ}, & 60, 0^{\circ}, & 60, 0^{\circ}; \\ γ: & 90^{\circ}, & 67, 4^{\circ}, & 61, 9^{\circ}, & 60, 5^{\circ}. \end{matrix}

Lovász László (Budapest, Fazekas M. gyak. g. I. o. t.)

¹A leszármaztatott háromszög nem azonos a kiindulási háromszöggel, mert

c_{1} - b_{1} = 1

, ezért

a_{1} > 1

b_{1} \geq 3

, így pedig

b_{2} - b_{1} = b_{1}^{2} - b_{1} - 2 = {(b_{1} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{9}{4} \geq \frac{25}{4} - \frac{9}{4} > 0

, még inkább

b_{3} - b_{2} > 0

, és így tovább. Mindezek ún. ,,racionális háromszögek'', azaz mindegyik szögük mindegyik trigonometriai függvényének értéke racionális azám. Ez a koszinuszokra a koszinusz tétel alapján már az oldalak racionális voltából következik, a színuszokra pedig pl. a

2 t = a b sin γ

képletből.