Kezdőlap


Feladat:	1218. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bense I. , Berkes István , Doskar Balázs , Fejéregyházi Sándor , Folly Gábor , Földeáki Mária , Gálfi István , Gyárfás András , Harkányi Gábor , Horváth Sándor , Kelecsényi T. , Kiss Gábor , Lazányi I. , Lehel Jenő , Lovász László , Makai Endre , Marosi Judit , Mátrai M. , Müller J. , Náray György , Papp M. , Rejtő Lídia , Székely Gábor , Szidarovszky Ferenc , Tamás Endre , Vaskövi I. , Veres Ferenc
Füzet:	1963/november, 120 - 121. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Exponenciális egyenletek, Numerikus és grafikus módszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/január: 1218. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldásunkat az exponenciális függvény tankönyvbeli grafikonjának szemléletére alapítjuk. A grafikon ‐ ha az $a$ alap nagyobb 1-nél ‐ balról jobbra emelkedő folytonos vonal, nincs ,,vízszintes'' szakasza sem, vagyis ha $x_{1} < x_{2}$ , akkor $a^{x_{1}} < a^{x_{2}}$ , továbbá bármely az $X$ -tengely ,,fölött'', vele párhuzamosan haladó egyenes átmetszi a görbét (az előbbiek szerint pontosan egy pontban), vagyis minden $y > 0$ számhoz van olyan $x$ , amelyre $a^{x} = y$ (az $y$ szám $a$ alapú logaritmusa). Bizonyítás nélkül felhasználjuk még azt, hogy az adott egyenlet bal oldalán álló összeg grafikonjának is megvannak ugyanezek a tulajdonságai.

x = 0

, 1, 2 helyeken a bal oldal értéke rendre 2, 16, 136, a jobb oldalé pedig 1, 13, 169. Eszerint az

x = 1

abszcisszán még a bal oldal grafikonja lép át magasabban, az

x = 2

abszcisszán pedig már a jobb oldalé. Így a két grafikon metszéspontja, amelynek abszcisszája a keresett gyök, mert ordinátája a két oldal közös értéke, az

x = 1

és

x = 2

egyenesek között van.
A közbeeső

x = 3 / 2

helyen a táblázat szerint, 2 tizedesre kerekítve egyrészt

\begin{matrix} 6^{3 / 2} + 10^{3 / 2} = \sqrt[]{216} + \sqrt[]{1000} \approx 14, 70 + 31, 62 = 46, 32, \end{matrix}

másrészt

13^{3 / 2} = 13 \sqrt[]{13} \approx 46, 87

, nagyobb a bal oldalnál, tehát a gyök 1 és

3 / 2 = 1, 5

között van.
Tovább logaritmussal számolunk. Egyszerűség kedvéért mindjárt a jobb és a bal oldal

\begin{matrix} f (x) = 13^{x} - 6^{x} - 10^{x} \end{matrix}

különbségét számítjuk ki, és ennek elsősorban az előjelét tekintjük, később az abszolút értékét is. Ha a különbség negatív, akkor a következő lépésben nagyobb

x

-szel próbálkozunk, pozitív különbség esetén kisebbel. Másrészt a két ellentett jelű különbséget adó

x

érték közül ahhoz választjuk közelebb a következő próbálkozás

x

-ét, amelyre a különbség abszolút értéke kisebb.

x = 1, 5

-re a különbség

+ 0, 55

körül van,

x = 1

-re pedig

- 3

. Az utóbbi sokszorosan nagyobb abszolút értékű, ezért valószínű, hogy

x

közelebb áll

1, 5

-höz, mint 1-hez. Próbálkozzunk ezért

x = 1, 4

-del:

\begin{matrix} f (1, 4) = 13^{1, 4} - 6^{1, 4} \approx 10^{1, 4} \approx 36, 27 - 12, 29 - 25, 12 = - 1, 14, \end{matrix}

ezért

x

az (

1, 4

;

1, 5

) intervallumban van, közelebb

1, 5

-höz, mert

\begin{matrix} | + 0, 55 | < | - 1, 14 | . \end{matrix}

Hasonlóan

x = 1, 47

-dal

\begin{matrix} f \end{matrix}