Kezdőlap


Feladat:	1217. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Berkes István , Deák István
Füzet:	1963/november, 119 - 120. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Oszthatósági feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/január: 1217. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. I. Ha létezik további egész számnégyes a szóban forgó tulajdonsággal, akkor annak tagjai rendre ugyanannyival különböznek a 3, 4, 5, 6 számnégyes tagjaitól, mondjuk $x$ -szel, ahol $x$ pozitív vagy negatív egész szám. Eszerint $x$ -re fennáll a

\begin{matrix} {(3 + x)}^{3} + {(4 + x)}^{3} + {(5 + x)}^{3} = {(6 + x)}^{3} \end{matrix}

egyenlőség. Innen kifejtéssel, és a szokásos rendezési lépésekkel

x

-re a következő egyenletet kapjuk:

\begin{matrix} x^{3} + 9 x^{2} + 21 x = x (x^{2} + 9 x + 21) = 0. \end{matrix}

Ennek egyik gyöke

x = 0

, számunkra semmitmondó, további két gyökére pedig

\begin{matrix} x^{2} + 9 x + 21 = 0. \end{matrix}

Ezt azonban valós szám nem elégíti ki, mert diszkriminánsa negatív:

- 3

. Nincs tehát megfelelő

x

szám, ezért valóban nincs további egész számnégyes a kérdéses tulajdonsággal.

II. Ha létezik egész számötös a kérdéses tulajdonsággal, akkor legkisebb tagját

y

-nal jelölve fennáll:

\begin{matrix} y^{3} + {(y + 1)}^{3} + {(y + 2)}^{3} + {(y + 3)}^{3} = {(y + 4)}^{3} . \end{matrix}

Innen alkalmas rendezéssel

\begin{matrix} 3 (y^{3} + 2 y^{2} - 2 y) = 28 \end{matrix}

adódik, ez pedig lehetetlen, mert a zárójelben egész szám áll, így a bal oldal osztható 3-mal, a jobb oldal viszont nem. Ezzel az állítást bebizonyítottuk.

Berkes István (Budapest, Fazekas M. gyak. g. I. o. t.)

II. megoldás a feladat II. részére. Elég a köbszámok 3-mal való osztásánál fellépő maradékokat tekintenünk. Egy egész szám és a köbe ugyanazt a maradékot adja 3-mal osztva. Valóban, a különbségük osztható 3-mal, mert ha

n

a szám, akkor

n^{3} - n = n (n^{2} - 1) = (n - 1) n (n + 1)

, három egymás utáni szám szorzata, így valamelyik tényező és vele együtt a szorzat is osztható 3-mal.
Három egymás utáni szám köbe a mondottak szerint maradékul a 0, 1, 2 számokat adja, valamilyen sorrendben, s így összegük osztható 3-mal. Az utánuk következő és az azutáni szám köbének osztási maradéka viszont 1-gyel különbözik, s így négy egymás utáni egész szám köbének összege nem lehet egyenlő a következő ötödik egész köbével.

Deák István (Budapest, Vörösmarty M. g. III. o. t.)