Kezdőlap


Feladat:	1215. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Antal Magdolna , Tamás Endre
Füzet:	1963/október, 64 - 66. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb ponthalmazok a koordinátasíkon, Mértani helyek, Feladat, Terület, felszín
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/december: 1215. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Ha $a$ egy háromszög egyik oldala, $m$ a szemben fekvő csúcsból bocsátott magasság, akkor a háromszög területe $a m / 2$ , az oldal fölé rajzolt négyzet területének fele $a^{2} / 2$ , tehát akkor lesz az előbbi a kisebb, ha az oldal nagyobb a rá bocsátott magasságnál.
Ez a feltétel az $A B$ oldalra nézve akkor és csak akkor teljesül, ha $C$ az $A B$ egyenessel párhuzamos és tőle $A B$ távolságra levő $d$ és $e$ egyenesek közti sávban van (a $d$ és $e$ határegyeneseket már nem számítva hozzá).

1. ábra

E sáv pontjai közül ki kell még zárnunk azokat a

C

pontokat, amelyekre az

A C

vagy

B C

oldal nem nagyobb a rá bocsátott magasságnál. Elegendő csak az

A B

és

d

közti sávot, ill. ennek is pl. azt a felét tekinteni, amelyik az

A B

szakasz

f

felező merőlegesének azon az oldalán van, mint a

B

pont, beleértve

f

-nek a sávhoz tartozó pontjait is. Egy ebben az

S

tartományban levő

C

pont és az

A B

-re, ill.

f

-re, ill.

A B

és

f

metszéspontjára vonatkozó tükörképe az

A

B

pontokkal egybevágó háromszögeket határoznak meg, így vagy mindegyik kielégíti a feladat feltételeit, vagy egyik sem. Így

S

-nek a mértani helyhez tartozó pontjai és az azokból az említett tükrözésekkel keletkező pontok együtt adják a keresett mértani helyet.
Az

S

-beli

C

pontokra

B C \leq A C

, így ha az előbbi oldal fölé emelt négyzet területének fele nagyobb, mint az

A B C

háromszögé, akkor az utóbbi oldal fölé emelté is. Elég tehát azokat a pontokat kizárni, amikre az előbbi feltétel nem teljesül.
Legyen

a

egy

A B

-től különböző,

B

-n átmenő egyenes,

A'

A

pont vetülete

a

-n. Mérjük rá

B

-ből

a

-nak a

d

-t tartalmazó félsíkbeli félegyenesére a

B A_{1} = A A'

szakaszt, ekkor a félegyenes

S

-be eső része

B A_{1}

szakaszának pontjait (végpontjaival együtt) kell kizárnunk, mint nem a mértani helyhez tartozókat. Az

A A' B

-vel egybevágó háromszöget kapunk, ha

B

-ben

A B

-re,

A_{1}

-ben

a

-ra merőlegest állítunk; legyen metszéspontjuk

B'

. Valóban, a két háromszög derékszögű, megfelelő oldalaik merőlegesek egymásra, és az

A

-ból, ill.

B

-ből induló befogó szerkesztés szerint egyenlő. Így

B B'

és

A B

egyenlők, mint megfelelő oldalak, tehát a

B'

pont független az

a

egyenes helyzetétől (

B

vetülete

d

-n),

A_{1}

tehát a

B B'

mint átmérő fölé rajzolt

k

körön van,

B A_{1}

ennek a körnek egy húrja. A

k

körlemez minden

P

pontján és

B

-n átmegy egy

a

egyenes, melynek

P

a kizárandó

B A_{1}

szakaszához tartozik.

S

-nek tehát a

k

körön kívüli része tartozik a mértani helyhez. Az

A B

egyenes

S

-t határoló része is hozzátartozik a

B

pont kivételével, ha egyenesszakasszá lapult ,,háromszögeket'' is háromszögnek tekintünk 0 területtel.
A keresett mértani hely mostmár a

d

és

e

egyenes közti sáv azon négy körön kívüli része, amelyek érintik az

A B

egyenest

A

-ban, illetve

B

-ben és a sáv valamelyik határvonalát. Ezt a 2. ábra csíkozott része szemlélteti, a szaggatott vonallal meghúzott határvonalak nem tartoznak a mértani helyhez.

Tamás Endre (Budapest, I. István g. III. o. t.)

2. ábra

II. megoldás. Helyezzünk a síkra egy derékszögű koordinátarendszert úgy, hogy

A

koordinátái (

- 1

, 0) legyenek,

B

-éi (1, 0), jelöljük továbbá egy megfelelő

C

pont koordinátáit (

x

y

)-nal. Így az

A B C

háromszög területe

t = | y |

, az oldalak fölé rajzolt négyzetek területének fele pedig rendre

\begin{matrix} \frac{A B^{2}}{2} = 2, \frac{B C^{2}}{2} = \frac{{(x - 1)}^{2} + y^{2}}{2}, \frac{C A^{2}}{2} = \frac{{(x + 1)}^{2} + y^{2}}{2} . \end{matrix}

t < A B^{2} / 2

feltételt az abszolút érték jel elhagyásával kettős egyenlőtlenséggé írhatjuk át:

\begin{matrix} y \geq 0 esetén 0 \leq | y | = y < 2, azaz 0 \leq y < 2, \\ y < 0 esetén 0 < | y | = - y < 2 -ből 0 > y > - 2, \end{matrix}

összefoglalva

\begin{matrix} - 2 < y < 2. \end{matrix}

(1)

Hasonlóan a

2 t < B C^{2}

2 t < C A^{2}

feltételekből

\begin{matrix} 2 y < {(x - 1)}^{2} + y^{2}, & (2) \\ 2 y > - {(x - 1)}^{2} - y^{2}, & (3) \\ 2 y < {(x + 1)}^{2} + y^{2}, & (4) \\ 2 y > - {(x + 1)}^{2} - y^{2} . & (5) \end{matrix}

Adjunk (2) és (4) mindkét oldalához

1 - 2 y

-t, (3) és (5) mindkét oldalához

- 1 - 2 y

-t. Ekkor teljes négyzetté kiegészítéssel, továbbá (3) és (5) esetében még (

- 1

)-gyel szorozva

\begin{matrix} 1 < & {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2}, & (2a) \\ 1 < & {(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2}, & (3a) \\ 1 < & {(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2}, & (4a) \\ 1 < & {(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} . & (5a) \end{matrix}

Ezek a feltételek azt fejezik ki, hogy

C

-nek az (1, 1), az (1,

- 1

), a (

- 1

, 1) és a (

- 1

- 1

) ponttól való távolsága nagyobb 1-nél, vagyis

C

az ezen pontok körül

r = 1

sugárral írt körre nézve külső pont.
Az (1) feltétel pedig azt fejezi ki, hogy

C

y = - 2

egyenes ,,fölött'' és az

y = 2

egyenes ,,alatt'' van, vagyis e két egyenes közti síksávban.

Antal Magdolna (Budapest, Varga K. lg. III. o. t.)