Feladat: 1214. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Berecz Ágota ,  Deák István ,  Dobó Ferenc ,  Érdi Bálint ,  Földeáki Mária ,  Földes Antónia ,  Gyárfás András ,  Kemenes J. ,  Kuzmann E. ,  Lánc József ,  Lehel Jenő ,  Lőrincz Cs. ,  Lovász László ,  Lukonics G. ,  Lux I. ,  Malatinszky Gábor ,  Minárik László ,  Nárai György ,  Naszály F. ,  Papp M. ,  Raisz Miklós ,  Sófalvi M. ,  Szentirmai Ákos ,  Szidarovszky Ferenc ,  Tamás Endre ,  Vadász Péter ,  Veres Ferenc 
Füzet: 1963/október, 61 - 63. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Csillagászati, földrajzi feladatok, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1962/december: 1214. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Az 1146. feladatban1 (többek között) meghatároztuk a Föld azon helyeit, amelyekre a Nap dec. 21-én, ill. szept. 23-án és márc. 21-én a budapesti napkelte időpontjában merőlegesen süt. E helyek az illető időpontra meghatározzák a Nap helyzetét is, annak a Föld körüli látszólagos mozgásában. E helyeknek Budapesttől mért ϑ szögtávolsága (a földgömb hozzájuk, ill. Budapesthez húzott sugarai közti szög) 90, ezért a P1 (λ1, φ1) és P2 (λ2, φ2) földrajzi koordinátájú helyek ϑ szögtávolságára az 1045. feladatban2 talált

cosϑ=sinφ1sinφ2+cosφ1cosφ2cos(λ1-λ2)
összefüggésben a bal oldal értéke 0, és így osztással
cos(λ1-λ2)=-tgφ1tgφ2.
Ebben P1-nek Budapestet vettük, P2-nek a keresett helyet, amelyre ismertük a φ2 földrajzi szélességet abból, hogy a kérdéses napokon a Nap a Baktérítő, ill. az Egyenlítő fölött halad, és így φ2-23,5, illetve 0.
 
 

Budapest helyén előbb Szegedet (a térkép szerint λ1'2010', φ1'=4615'), a hozzá tartozó P2'-ben pedig ismét φ1'=-23,5-ot véve, azaz dec. 21-re számolva
cos(λ1'-λ2')1,0440,43480,4542,λ1'-λ2'±6259',


és mivel P2'-t kelet felé keressük:
λ2'λ1'+6259'839'.

Hasonlóan Nyíregyházához (λ1''2145', φ1''4758')
λ1''-λ2''=±6110',λ2''8255'.
Mivel λ2''<λ2', azért P2'' nyugatra van P2'-től, föléje a Nap kissé később érkezik, tehát dec. 21-én Nyíregyházán valóban később kel a Nap (a különbség 14szögperc0,24, ekkora elfordulás kb. 1 időperc alatt következik be, ennyi a késés).
Szept. 23-ra és márc. 21-re φ2=0, így λ2=λ1+90, és mivel Nyíregyháza nagyobb keleti hosszúságon fekszik, e napokon Nyíregyházán kel előbb a Nap, kb. 6,4 időperccel. Feltehető, hogy az eltérés folytonosan csökken le, ill. a másik irányban folytonosan növekszik fel, így van dec. 21. előtt, és utána is, egy-egy dátum, amelyen Szegeden és Nyíregyházán egyszerre kel a Nap. E két dátum között van a kérdéses környezet.
E napokat pontosan meghatározhatjuk. Jelölje φ2* azt a földrajzi szélességet, amelyre a kérdéses napon a Nap a zenitben jár, a megfelelő hosszúságot pedig λ2*. E napokra cos(λ1'-λ2*)=-tgφ1'tgφ2* és cos(λ1''-λ2*)=-tgφ1''tgφ2*.

Osztással kiküszöbölhetjük φ2*-ot:
cos(λ1'-λ2*)cos(λ1''-λ2*)=tgφ1'tgφ1''
A különbségek koszinuszát kifejtve az addíció tétel alapján minden tagban fellép λ2*-nak vagy a szinusza, vagy a koszinusza. Így összevonásokkal és osztással
tgλ2*=sinλ2*cosλ2*=cosλ1''tgφ1'-cosλ1'tgφ1''sinλ1'tgφ1''-sinλ1''tgφ1',
adatainkkal λ2*8615', és evvel φ2*-2112'. Ugyanennyi e napon a Nap ún. csillagászati deklinációja (egyik égi koordinátája). Ebből csillagászati táblázatok alapján a kérdéses időköz kb. november végétől január közepéig tart.
 

II. Kézenfekvő, hogy a második kérdésre is igen a válasz, éspedig a nyári napforduló egy bizonyos környezetében a Nap Szegeden előbb nyugszik le, mint Nyíregyházán. Valóban, ekkor φ2=23,5, és így fenti számításainkból puszta előjelváltással a Ráktérítőnek az a pontja, amely fölött a Nap a szegedi napnyugta pillanatában áll, 180-6259'=11701'-cel van Szegedtől nyugatra, tehát nyugati hosszúsága 9651'. Nyíregyházára nézve pedig 180-6110'-2145'=9705' a megfelelő hosszúság. Az utóbbi nyugatra van az előbbitől, oda a Nap később érkezik (ismét kb. 1 időperccel), tehát Nyíregyházán valóban később nyugszik le, mint Szegeden.
 Érdi Bálint (Esztergom, I. István g. IV. o. t.)
 

Megjegyzések. 1. Felhasználva azt, hogy a Nap dec. 21-én a szegedi napkelte pillanatában a Földnek P(λ=839', φ=-2330') pontja fölött áll, kérdezhetjük, mennyire van Nyíregyháza P-től. Elég a ϑ szögtávolság koszinuszának előjelét meghatároznunk. Ha ez negatív, akkor ϑ>90, a Nap Nyíregyházáról még nem látható. Valóban
cosϑ=sin4758'sin(-2330')++cos4758'cos(-2330')cos(2145'-839')=-0,2962+0,2939<0.


Ezzel a számítással azonban nem kapjuk meg a késés értékét.
2. Az ábra I és II vonala a térkép azon pontjain megy át, ahol a Nap dec. 21-én Szegeddel, ill. Nyíregyházával egyidejűen kel és jún. 21-én egyidejűen nyugszik; a III vonal pontjaiban pedig nov. 29-én, jan. 15-én egyidejű a napkelte, máj. 28-án és júl. 17-én egyidejű a napnyugta (az utóbbi időszak hosszabb, mert azidőtájt a Föld lassabban haladt a pályáján).
1K. M. L. 25 (1962/11) 108. o.

2K. M. L. 22 (1961/4) 157. o.