|
Feladat: |
1213. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Andor Gy. , Berkes István , Buday L. , Csirik János , Deák István , Doskar Balázs , Folly Gábor , Gyárfás András , Horányi Sándor , Jahn László , Korbuly M. , Lovász László , Magyar Gábor , Mátrai Miklós , Mészáros György , Mihályi Zoltán , Miskolci A. , Pelikán József , Somos Péter , Szilágyi Tivadar , Török Angéla , Vesztergombi Katalin |
Füzet: |
1963/szeptember,
18 - 20. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Sokszögek szerkesztése, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Szabályos sokszögek geometriája, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1962/december: 1213. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. Az adott sugarú körbe először egy közönséges (konvex) szabályos tízszöget szerkesztünk. Ebből a szabályos csillagtízszöget úgy kapjuk, hogy a csúcsokat sorrendben kötjük össze.
1. ábra -t az 1157. feladatban nyert eredmény felhasználásával szerkeszthetjük meg (1. ábra). Ugyanis az sugarú körbe írt (konvex) szabályos -szög oldalának ismert képletével | | vagyis az és befogókkal szerkesztett derékszögű háromszög átfogójából kivonva az befogót, a különbség .
2. ábra II. Legyen a kör középpontja , az és oldalak metszéspontja (2. ábra). Ekkor a kör -vel lefedett része 20-szorosa az háromszög területének. Ennek oldalán levő szögei és , és így a lefedett terület
Felhasználtuk az 1157. feladatból a következőket is: | | Ebből a kör le nem fedett részének területe: Magyar Gábor (Sopron, Berzsenyi D. g. III.o. t.)
Megjegyzések. 1. A szabályos csillagtízszög oldala az -éhez hasonló egyszerűséggel szerkeszthető: | | tehát a fenti szerkesztésben az befogót hozzáadjuk az átfogóhoz. Ezt a több dolgozatban idézett klasszikus, ún. Ptolemaiosz‐Dürer-féle szerkesztésben ugyanazzal a körívvel kaphatjuk, mint -et (1. ábra). Ebben a mondott derékszögű háromszög befogói az sugár és a rá merőleges sugár fele, pedig az szakasz, ahol -t a körül sugárral írt körív metszi ki a átmérőből. (Vagyis a fent említett kivonást úgy hajtjuk végre, hogy az átfogó végpontját ráfordítjuk az befogó -n túli meghosszabbítására.) Mármost , ahol a mondott körívnek a egyenessel való második metszéspontja (az átfogót másik meghosszabbítására mérjük rá). Többen ezt az ábrát úgy használták fel, hogy a körbe oldallal szabályos ötszöget szerkesztettek, és ennek oldalait megfelezve kapták -t, vagy pedig eljárásukat az átmérő másik végpontjából kiindulva megismételték. Ez helyes eljárás ‐ úgy látszik, ismertebb az szakasz használatánál ‐, viszont szerkesztésén alapszik, továbbá az összefüggésnek számítással való bizonyításán, tehát elvileg bonyolultabb amannál. Ha ötszöget kívánunk a körbe beírni, természetesen azt használjuk. Megemlítjük még, hogy hasonló bizonyítás szerint , vagyis az szakasz a körünkbe írható szabályos csillagötszög oldalával egyenlő (más szóval a közönséges ötszög átlójával). 2. Többen a feladat számítási részében a szemlélet alapján ezt írták: ,,a keresett területet a kör és a csillagötszög területének különbsége adja''. A ,, területe'' kifejezés itt nem szerencsés. A csillag tíz szög hurkolt idom. Hurkolt négyszög területének célszerű és a matematikában elfogadott értelmezését nemrég láttuk. A hurkolt sokszögek területének értelmezése hasonló, de bonyolultabb, ugyancsak a részháromszögek körüljárási irányát használja fel. K. M. L. 24 (1962/11) 118. o./Lőrincz Pál: Az 1962. évi Arany Dániel tanulóversenyek II. fordulóján kitűzött feladatok megoldása, K. M. L. 26 (1963/1) 10‐17. o., közelebbről 13‐14. o. |
|