Kezdőlap


Feladat:	1213. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Andor Gy. , Berkes István , Buday L. , Csirik János , Deák István , Doskar Balázs , Folly Gábor , Gyárfás András , Horányi Sándor , Jahn László , Korbuly M. , Lovász László , Magyar Gábor , Mátrai Miklós , Mészáros György , Mihályi Zoltán , Miskolci A. , Pelikán József , Somos Péter , Szilágyi Tivadar , Török Angéla , Vesztergombi Katalin
Füzet:	1963/szeptember, 18 - 20. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Sokszögek szerkesztése, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Szabályos sokszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/december: 1213. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Az adott $r$ sugarú körbe először egy $A_{1} A_{2} A_{3} ... A_{9} A_{10} = T_{k}$ közönséges (konvex) szabályos tízszöget szerkesztünk. Ebből a $T_{c}$ szabályos csillagtízszöget úgy kapjuk, hogy a csúcsokat $A_{1} A_{4} A_{7} A_{10} A_{3} A_{6} A_{9} A_{2} A_{5} A_{8}$ sorrendben kötjük össze.

1. ábra

T_{K}

-t az 1157. feladatban ¹

^{/}

nyert

\begin{matrix} sin 18^{\circ} = cos 72^{\circ} = \frac{\sqrt[]{5} - 1}{4} \end{matrix}

eredmény felhasználásával szerkeszthetjük meg (1. ábra). Ugyanis az

r

sugarú körbe írt (konvex) szabályos

n

-szög oldalának ismert képletével

\begin{matrix} a_{10} = 2 r sin \frac{180^{\circ}}{10} = r \frac{\sqrt[]{5} - 1}{2} = \sqrt[]{\frac{5 r^{2}}{4}} - \frac{r}{2} = \sqrt[]{r^{2} + {(\frac{r}{2})}^{2}} - \frac{r}{2}, \end{matrix}

vagyis az

r

és

r / 2

befogókkal szerkesztett derékszögű háromszög átfogójából kivonva az

r / 2

befogót, a különbség

a_{10}

2. ábra

II. Legyen a kör középpontja

O

, az

A_{1} A_{4}

és

A_{9} A_{2}

oldalak metszéspontja

B

(2. ábra). Ekkor a kör

T_{c}

-vel lefedett része 20-szorosa az

O A_{1} B

háromszög területének. Ennek

O A_{1} = r

oldalán levő szögei

18^{\circ}

és

36^{\circ}

, és így a lefedett terület

\begin{matrix} 20 \frac{r^{2} sin 18^{\circ} sin 36^{\circ}}{2 sin (18^{\circ} + 36^{\circ})} = \frac{20 r^{2} sin^{2} 18^{\circ} cos 18^{\circ}}{sin 54^{\circ}} = \frac{5 {(\sqrt[]{5} - 1)}^{2} \sqrt[]{10 + 2 \sqrt[]{5}}}{4 (\sqrt[]{5} + 1)} r^{2} = \\ = \frac{5}{16} {(\sqrt[]{5} - 1)}^{3} \sqrt[]{10 + 2 \sqrt[]{5}} r^{2} = \frac{5}{2} (\sqrt[]{5} - 2) \sqrt[]{10 + 2 \sqrt[]{5}} r^{2} = \\ = \frac{5}{2} \sqrt[]{50 - 22 \sqrt[]{5}} r^{2} . \end{matrix}

Felhasználtuk az 1157. feladatból a következőket is:

\begin{matrix} sin 72^{\circ} = \frac{1}{4} \sqrt[]{10 + 2 \sqrt[]{5},} cos 36^{\circ} = \frac{\sqrt[]{5} + 1}{4} . \end{matrix}

Ebből a kör le nem fedett részének területe:

\begin{matrix} r^{2} (π - \frac{5}{2} \sqrt[]{50 - 22 \sqrt[]{5}}) \approx 0, 896 r^{2} . \end{matrix}

Magyar Gábor (Sopron, Berzsenyi D. g. III.o. t.)

Megjegyzések. 1. A szabályos csillagtízszög

c_{10}

oldala az

a_{10}

-éhez hasonló egyszerűséggel szerkeszthető:

\begin{matrix} c_{10} = 2 r sin 3 \cdot 18^{\circ} - 2 r cos 36^{\circ} = \frac{\sqrt[]{5} + 1}{2} r, \end{matrix}

tehát a fenti szerkesztésben az

r / 2

befogót hozzáadjuk az átfogóhoz. Ezt a több dolgozatban idézett klasszikus, ún. Ptolemaiosz‐Dürer-féle szerkesztésben ugyanazzal a körívvel kaphatjuk, mint

a_{10}

-et (1. ábra). Ebben a mondott derékszögű háromszög befogói az

O A_{1}

sugár és a rá merőleges

O B

sugár

O D

fele,

a_{10}

pedig az

O E

szakasz, ahol

E

-t a

D

körül

D A_{1}

sugárral írt körív metszi ki a

B C

átmérőből. (Vagyis a fent említett kivonást úgy hajtjuk végre, hogy az átfogó végpontját ráfordítjuk az

r / 2

befogó

O

-n túli meghosszabbítására.) Mármost

c_{10} = O F

, ahol

F

a mondott körívnek a

B C

egyenessel való második metszéspontja (az átfogót

O D

másik meghosszabbítására mérjük rá).
Többen ezt az ábrát úgy használták fel, hogy a körbe

A_{1} E = a_{5}

oldallal

A_{1} A_{3} A_{5} A_{7} A_{9}

szabályos ötszöget szerkesztettek, és ennek oldalait megfelezve kapták

T_{k}

-t, vagy pedig eljárásukat az

A_{1} A_{6}

átmérő másik végpontjából kiindulva megismételték. Ez helyes eljárás ‐ úgy látszik, ismertebb az

O E

szakasz használatánál ‐, viszont

a_{10}

szerkesztésén alapszik, továbbá az

a_{5}^{2} = a_{10}^{2} + r^{2}

összefüggésnek számítással való bizonyításán, tehát elvileg bonyolultabb amannál. Ha ötszöget kívánunk a körbe beírni, természetesen azt használjuk.
Megemlítjük még, hogy hasonló bizonyítás szerint

c_{5}^{2} = c_{10}^{2} + r^{2}

, vagyis az

A_{1} F

szakasz a körünkbe írható szabályos csillagötszög oldalával egyenlő (más szóval a közönséges ötszög átlójával).
2. Többen a feladat számítási részében a szemlélet alapján ezt írták: ,,a keresett területet a kör és a csillagötszög területének különbsége adja''. A ,,

T_{c}

területe'' kifejezés itt nem szerencsés. A csillag tíz szög hurkolt idom. Hurkolt négyszög területének célszerű és a matematikában elfogadott értelmezését nemrég láttuk.²

^{/}

A hurkolt sokszögek területének értelmezése hasonló, de bonyolultabb, ugyancsak a részháromszögek körüljárási irányát használja fel.

¹ K. M. L. 24 (1962/11) 118. o.

²/Lőrincz Pál: Az 1962. évi Arany Dániel tanulóversenyek II. fordulóján kitűzött feladatok megoldása, K. M. L. 26 (1963/1) 10‐17. o., közelebbről 13‐14. o.