Kezdőlap


Feladat:	1208. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kolcza Judit , Rétházi Tamás
Füzet:	1963/szeptember, 16 - 18. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenség-rendszerek grafikus megoldása, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenség-rendszerek, Lineáris programozás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/november: 1208. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

^{$^{*}$} Kapjon egy állat naponta az I. takarmányból $x$ , a II-ból $y$ kilogrammot. Ezek az $A$ , $B$ , $C$ tápanyagra közölt összetételi adatok, vala mint igények alapján úgy választandók, hogy teljesüljön:

\begin{matrix} 10 x + 10 y ≧ 45, 10 x + 20 y ≧ 60, 5 y ≧ 5. \end{matrix}

Egyszerűsítéssel és kiegészítéssel a problémát a következő egyenlőtlenségrendszer írja le:

\begin{matrix} x + y ≧ 4, 5, x + 2 y ≧ 6, y ≧ 1, x ≧ 0. \end{matrix}

A derékszögű koordinátarendszerben az így figyelembe veendő valamennyi

x

y

számpárt az ábra

H

csíkozott részében és annak határán levő pontok ábrázolják.

H

-t az

x + y = 4, 5

és

x + 2 y = 6

egyenesek egy-egy szakasza, valamint az

y = 1

és

x = 0

egyenesek egy-egy félegyenese választja el a sík többi pontjaitól, szögpontjai

C_{1} (0; 4, 5)

C_{2} (3; 1, 5)

és

C_{3} (4; 1)

. A határpontok mindenütt a

H

síkrészhez tartoznak hozzá. (

H

nem korlátos, ,,végtelenbe nyúlik'', ,,távoli'' pontjai azonban az etetés számára nem jönnek tekintetbe, az állatok túletetését jelentik.)

a)

Az egy állatnak adott összes takarmány költsége

K = 30 x + 120 y

fillér, az ugyanazon

K

értéket adó

x

y

pontok párhuzamos egyeneseken sorakoznak. Pl. 180 fillérért az I. takarmányból 6 kg-ot, vagy a II-ból 1,5 kg-ot kapunk, ezért az egyenesek irányát megadja a (6; 0) és (0; 1,5) pontokat összekötő egyenes. Ennek nincs

H

-val közös pontja. Háromszögvonalzónkat erre állítva majd párhuzamosan úgy tolva, hogy

O

-tól távolodjék ‐ ez jelenti a nagyobb

K

értékekre való áttérést ‐, a vonalzó elsőnek a

C_{3}

pontot éri el

H

-ból, tehát a legkisebb költséget igénylő program: állatonként és naponként 4 kg az I., 1 kg a II. takarmányból. Ekkor

K_{min} = 2, 40

Ft. (Itt nem voltunk tekintettel a

b)

alatti veszteség lehetőségére.)

b)

Az etetési veszteséget kétféleképpen érthetjük: tömegben, vagy pénzértékben.

b_{1})

Veszendőbe megy

V_{t} = 10 x + 20 y

dkg takarmány. A megfelelő egyenesek irányát megrajzolva a vonalzó csúsztatásával kapjuk, hogy minimális

V_{t}

-t a

C_{2} C_{3}

szakasz pontjai adnak, e szakasz bármely (

x

y

) pontja szerint összeállítva a takarmányadagot, állatonként és naponként 60 dkg takarmány nem a terv szerint használódik fel.

b_{2})

Az I. takarmány 1 kg-jából veszendőbe menő 10 dkg értéke 3 fillér. Ugyanez a gazdasági mutatószám a II. takarmányra 24 fillér. Így

V_{p} = 3 x + 24 y

fillér és az előzőkhöz hasonló eljárással

V_{p, min} = 36

fillér állatonként és naponként, a

C_{3}

hoz tartozó

x = 4

kg,

y = 1

kg program mellett.

c)

Van az

a)

és

b)

-nek egyszerre megfelelő program, éspedig

b)

mindkét változatában az

x = 4

y = 1

program az egyetlen megfelelő.
Megjegyezzük még, hogy a veszteségeknek az adagok megállapítására való visszahatásával nem foglalkoztunk.

Kolcza Judit (Győr, Kazinczy F. lg. III. o. L.)
Rétházi Tamás (Miskolc, Bláthy O. t. II. o. t.)

^{$^{*}$}1 A Scharnitzky Viktor-Surányi János: A lineáris programozásról -c. cikk - K. M. L. 25 (1962/11) 97-104. o. - felhasználásával.