Feladat: 1203. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bálint Tamás ,  Baróti György ,  Bartai Natália ,  Berecz Ágota ,  Berkes István ,  Csörenyi Z. ,  Deák István ,  Erdész S. ,  Érdi Bálint ,  Fejéregyházi Sándor ,  Fejes Tóth G. ,  Fekete Sándor ,  Friss Ilona ,  Gálfi István ,  Gaul G. ,  Gazsó János ,  Gyárfás András ,  Hoffmann P. ,  Jankó Katalin ,  Kiss Katalin ,  Komor Tamás ,  Laczkovich M. ,  Lánc J. ,  Lehel Csaba ,  Lehel J. ,  Lénárt Zoltán ,  Major János ,  Major P. ,  Makai Endre ,  Malatinszky G. ,  Meskó L. ,  Nagy Klára ,  Nárai György ,  Naszályi F. ,  Orlay I. ,  Pázmándi László ,  Pelikán József ,  Siket Aranka ,  Szederkényi E. ,  Szentirmai Ákos ,  Szidarovszky Ferenc ,  Szilágyi Tivadar ,  Szirai J. ,  Tamás E. ,  Tamás G. ,  Tar Teréz ,  Vadász Péter ,  Várnai L. ,  Vincze Éva 
Füzet: 1963/szeptember, 13 - 14. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Számtani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1962/november: 1203. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feltevést a következő alakban fejezhetjük ki:

ab+c+ca+b=2bc+a,(2)
bc+a-ab+c0,(3)
(továbbá b+c,a+b,c+a egyike sem 0). (2)-ből a nevezők szorzatával szorozva, a kieső tagokat elhagyva, majd kiemeléssel, átrendezéssel
a2(a+b+c)+c2(a+b+c)=2b2(a+b+c),(a2+c2-2b2)(a+b+c)=0.(4)


(3)-ból hasonlóan
b2-a2+c(b-a)=(a+b+c)(b-a)0.(5)
Eszerint az a+b+c összeg nem 0, tehát (4)-ből
a2+c2-2b2=0,a2+c2=2b2.(6)
Ez pedig azt fejezi ki, hogy a2, b2 és c2 (ebben a sorrendben) számtani sorozatot alkot, tehát a kérdéses állítás igaz.
 
 Bálint Tamás (Budapest, József A. g. III. o. t.)
 
Megjegyzés. Az állítást kiegészíthetjük: a2, b2, c2 is különböző számok. Ugyanis egyrészt (5)-ből b-a0, másrészt az (1)-beli nevezők nem tűnnek el, ezért b+a0, tehát szorzással b2-a20, b2a2. Ha pedig az a2, b2, c2 számtani sorozat két tagja különböző, akkor minden tagja különböző.
Ha a feltevésben nem kötjük ki az (1) tagok különbözőségét, akkor az állítás általában nem igaz. Ekkor ugyanis (4) fennállhat úgy, hogy a+b+c=0, anélkül, hogy az első tényező eltűnnék. Pl. a=b=1, c=-2, az (1) számok mindegyike ‐ 1, viszont a2, b2, c2 ekkor 1, 1 és 4, semmilyen sorrendben nem alkot számtani sorozatot.