Feladat: 1202. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csirik János ,  Márki László 
Füzet: 1963/május, 205 - 206. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Geometriai egyenlőtlenségek, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1962/november: 1202. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen AC=a, CB=b. Ekkor AB=a+b, a CDF háromszög CD=a-ra merőleges magassága b/2. Ekkor ‐ az idomok területét ugyanúgy jelölve, mint magukat az idomokat ‐ a következő egyenlőtlenség fennállását kell bizonyítanunk:

ABFDE=ACDE+CDF+CBF=a2+ab4+b234>(a+b)23,
más szóval, hogy a bal és jobb oldal különbsége pozitív:
2a23-5ab12+(34-13)b2>0.

 
 


Az első két tagból teljes négyzetté kiegészítéssel
2a23-5ab12=23(a2-58ab)=23(a-516b)2-25384b2,


tehát a különbség
23(a-516b)2+(34-51128)b2.
Itt b2 együtthatója pozitív, mert
34=323128=3072128>55128>51128,
s így a kifejezés valóban mindig pozitív. Ezzel a bizonyítást befejeztük.
 
 Márki László (Budapest, Fazekas M. gyak. g. III. o. t.)
 

II. megoldás. Legyen AB=c, AC=x, így CB=c-x és az I. megoldás szerint az ötszög területe:
y=x2+x(c-x)4+(c-x)234=3+34x2-23-14cx+c234.
Keressük meg y legkisebb értékét, azzal a korlátozással, hogy x csak 0-tól c-ig változik. Ha ezt c2/3-nál nagyobbnak találjuk, akkor a feladat állítása igaz.
Egyszerűbb számolás érdekében jelöljük x2, cx, c2 együtthatóját átmenetileg rendre p, q, r-rel, így y=px2+qcx+rc2. Kiemeléssel és teljes négyzetté kiegészítéssel
y=p(x2+qpcx+rpc2)=p[(x+qc2p)2-q2c24p2+rpc2]==p(x+qc2p)2+4pr-q24pc2,


illetőleg az együtthatókkal a számításokat elvégezve
y=3+34(x-73-912c)2+493-5196c2.
y legkisebb értéke akkor adódik, ha a változót egyedül tartalmazó első tag értéke 0. Ez beáll, ha
x=73-912c(0,26c),
ami az x számára megengedett érték. Ekkor y egyenlő a második taggal:
ymin=493-5196c2=7203-5196c2>84-5196c2=3396c2>13c2.
Ezzel az állítást bebizonyítottuk.
 
 Csirik János (Orosháza, Táncsics M. g. III. o. t.)