A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Legyen , . Ekkor , a háromszög -ra merőleges magassága . Ekkor ‐ az idomok területét ugyanúgy jelölve, mint magukat az idomokat ‐ a következő egyenlőtlenség fennállását kell bizonyítanunk: | | más szóval, hogy a bal és jobb oldal különbsége pozitív:
Az első két tagból teljes négyzetté kiegészítéssel
tehát a különbség | | Itt együtthatója pozitív, mert | | s így a kifejezés valóban mindig pozitív. Ezzel a bizonyítást befejeztük.
Márki László (Budapest, Fazekas M. gyak. g. III. o. t.)
II. megoldás. Legyen , , így és az I. megoldás szerint az ötszög területe: | | Keressük meg legkisebb értékét, azzal a korlátozással, hogy csak -tól -ig változik. Ha ezt -nál nagyobbnak találjuk, akkor a feladat állítása igaz. Egyszerűbb számolás érdekében jelöljük , , együtthatóját átmenetileg rendre , , -rel, így . Kiemeléssel és teljes négyzetté kiegészítéssel
illetőleg az együtthatókkal a számításokat elvégezve | | legkisebb értéke akkor adódik, ha a változót egyedül tartalmazó első tag értéke . Ez beáll, ha ami az számára megengedett érték. Ekkor egyenlő a második taggal: | | Ezzel az állítást bebizonyítottuk.
Csirik János (Orosháza, Táncsics M. g. III. o. t.)
|