Kezdőlap


Feladat:	1201. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kovács Ernő
Füzet:	1963/május, 204 - 205. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Exponenciális egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/november: 1201. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Kiemeléssel, valamint $4 = 2^{2}$ és $9 = 3^{2}$ figyelembevételével az első egyenlet így írható:

\begin{matrix} 2^{x} (1 + 2 + 2^{2} + 2^{3}) = 2^{2 y} (1 + 4 + 4^{2} + 4^{3}), \end{matrix}

(3)

amiből osztással

\begin{matrix} 2^{x - 2 y} = 85 / 15 = 17 / 3. \end{matrix}

(4)

Hasonlóan a második egyenletből

\begin{matrix} 40 \cdot 3^{x} = 820 \cdot 3^{2 y}, 3^{x - 2 y} = 41 / 2. \end{matrix}

(5)

Mindkét oldal logaritmusát véve (4)-ből és (5)-ből

\begin{matrix} x - 2 y = \frac{lg 17 - lg 3}{lg 2} \approx 2, 5, ill. x - 2 y = \frac{lg 41 - lg 2}{lg 3} \approx 2, 7. \end{matrix}

A bal oldalak egyenlők, a jobb oldalak különbözők; egyenletrendszerünk ellentmondó, ezért nincs megoldása.
(1) jobb oldalán a

4

-es alapok helyett

8 = 2^{3}

-t írva a fenti átalakításokhoz hasonlóan

\begin{matrix} 15 \cdot 2^{x} = 585 \cdot 2^{3 y}, 2^{x - 3 y} = 39. \end{matrix}

(6)

A kitevőből látjuk, hogy az innen és (5)-ből nyerhető elsőfokú egyenletrendszer

x

-re és

y

-ra megoldható lesz.

4

értékes jegyre számolva

\begin{matrix} x - 3 y \approx 5, 285, x - 2 y \approx 2, 749, \end{matrix}

kivonással és

3

értékes jegyre kerekítve

\begin{matrix} y \approx - 2, 54, és   így x \approx - 2, 32. \end{matrix}

Ezekkel (5), ill. a módosított (1) két oldala

40 \cdot 3^{x} \approx 3, 128

és

820 \cdot 9^{y} \approx 3, 090

, ill.

15 \cdot 2^{- 2, 32} \approx 3, 005

és

585 \cdot 8^{- 2, 54} \approx 2, 973.

Kovács Ernő (Pécs, Széchenyi I. g. III. o. t.)