Kezdőlap


Feladat:	1198. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fleischer Tamás , Kerényi István , Varga Endre
Füzet:	1963/október, 53 - 55. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pont körüli forgatás, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Diszkusszió, Háromszögek szerkesztése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/október: 1198. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyenek egy a követelménynek megfelelő elhelyezés csúcspontjai $P$ , $A$ , $B$ , $C$ úgy, hogy $P A$ , $P B$ , $P C$ rendre egyenlő az előre megadott $u$ , $v$ , $w$ szakasszal, továbbá $A B = B C = C A$ ; jelöljük közös hosszukat $d$ -vel. Forgassuk el az alakzatot $A$ körül $60^{\circ}$ -kal úgy, hogy $B$ a $C$ -be jusson; legyen $P$ új helyzete $P_{1}$ , $C$ -é $C_{1}$ . Ebben az alakzatban ismerjük egyrészt a $P A P_{1}$ szabályos háromszög oldalhosszát, másrészt a $P P_{1} C$ háromszög oldalainak hosszát. Ezekből az egész alakzat a következő lépésekben szerkeszthető.

1. ábra

Felvesszük (helyzet szerint) a

P A = u

szakaszt; megválasztjuk a fent említett forgás irányát és evvel megszerkesztjük

P_{1}

-et; a

P P_{1} = u

szakaszhoz a

P C = w

és

P_{1} C = P B = v

szakaszokból megszerkesztjük

C

helyzetét; végül ezt

A

körül a megválasztottal ellentétes irányban

60^{\circ}

-kal elforgatva kapjuk

B

helyzetét.
A kapott

P

A

B

C

alakzat megfelel, mert

P A

-t és

P C

-t közvetlenül az előírásnak megfelelően szerkesztettük,

P B

pedig egyenlő

P_{1} C = v

-vel, ugyanis az

A

körüli, a megválasztott iránnyal ellentétes

60^{\circ}

-os forgás

P_{1}

-et

P

-be,

C

-t

B

-be viszi át.

C

-t a

P P_{1}

egyenes mindkét partján szerkeszthetjük, így legfeljebb 2 megoldás van, mert a többi lépések egyértelműek.

C

létrejön, ha a

P P_{1} C

háromszög megszerkeszthető ‐ vagyis ha az adott szakaszok teljesítik a háromszög egyenlőtlenséget ‐, megengedhetjük azonban e háromszög egyenes szakasszá elfajulását is, ekkor

C

P P_{1}

egyenesen adódik, csak egy megoldás van¹. A betűzést úgy választva, hogy álljon

u \leq v \leq w

, a megoldhatóság feltétele:

u + v \geq w

. Ha ez nem teljesül, nincs megoldás.

Fleischer Tamás (Budapest, József A. g. II. o. t.)

II. megoldás. A keresetthez hasonló alakzatot nyerünk, ha egy tetszőleges

A' B' C'

szabályos háromszög csúcsaiból kiindulva vesszük azon

X

pontok

m_{1}

mértani helyét, melyekre

X A'

X B' = u : v

, majd azon

Y

pontok

m_{2}

mértani helyét, amelyekre

Y B' : Y C' = v : w

, és

P'

gyanánt

m_{1}

és

m_{2}

közös pontját vesszük. Ebből a keresett alakzatot olyan hasonlósági transzformációval kapjuk, amely

P' A'

-t

P A = u

nagyságúra transzformálja.

2. ábra

Ismeretes, hogy

m_{1}

A'

B'

alappontokhoz és az

u : v

arányhoz tartozó Apollóniosz-kör, ill.

u = v

esetén

A' B'

felező merőlegese. Ebből az

m_{2}

kör (ill. egyenes) 2, 1, vagy 0 megfelelő

P'

pontot metsz ki. Világos, hogy a

P'

pontra nézve a

P' C' : P' A' = w : u

arány is a kívánt értékű, s így a hasonlósági transzformációval keletkező háromszög minden követelménynek megfelel.
A szerkeszthetőség és megoldások száma vizsgálatához szükséges számításokra nem térünk ki.

Varga Endre (Kaposvár, Táncsics M. g. III. o. t.)

Megjegyzés. Egy további megoldás menete a következő: Jelöljük

P

tükörképét a

B C

C A

A B

egyenesre rendre

P_{a}

P_{b}

P_{c}

-vel. Bármelyik kettőjük távolsága előállítható adataink egyikéből, így a

P_{a} P_{b} P_{c}

háromszög megszerkeszthető. Ugyanis pl. az

A P_{b} P_{c}

háromszögben egyrészt

A P_{b} = A P = A P_{c}

, másrészt a kisebb

P_{b} A P_{c}

szög a tükrözések miatt

120^{\circ}

-kal egyenlő. Ebből azt is látjuk, hogy az

A

B

C

pontokat úgy kapjuk, hogy a

P_{a} P_{b} P_{c}

háromszög oldalaira, mint alapokra egyenlő szárú háromszögeket szerkesztünk alapjukon

30^{\circ}

-os szöggel. Ezekből pedig úgy kapjuk az előírt szakaszok közös

P

kiindulópontját, mint az

A

körül

u

B

körül

v

és

C

körül

w

sugárral írt kör közös pontját.
Bár nem nehéz, de hosszadalmas diszkusszióra vezet a szerkesztés helyességének igazolása és a megoldhatóság és megoldásszám vizsgálata, ‐ ezért nem bocsátkozunk bele.

Kerényi István (Budapest, Bláthy O. erősár. ip. t. III. o. t.)

¹Könnyű belátni, hogy ilyen esetben

A

B

C

és

P

egy kör pontjai.