Kezdőlap


Feladat:	1196. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Barth Albert , Berecz Ágota , Illi József , Minárik László
Füzet:	1963/március, 133 - 135. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Négyzetszámok összege, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/október: 1196. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Láttuk, hogy a felírt sorokban az egyenlőségi jel előtti négyzetszámok alapjai sorról sorra 4-gyel többel nőnek. Az 1. sorról a 2.-ra a növekedés $8 = 2 \cdot 4$ , így az $n - 1$ -edik sorról az $n$ -edikre $n \cdot 4$ . Így az várható, hogy az $n$ -edik sor középső négyzetszámának az alapja

\begin{matrix} 4 + 8 + 12 + ... + 4 n = \frac{(4 + 4 n) n}{2} = 2 n^{2} + 2 n \end{matrix}

lesz, a sor kezdő tagjának alapja

2 n^{2} + n

, utolsó tagjáé

2 n^{2} + 3 n

. Így a táblázat kérdéses sora csak ez lehet:

\begin{matrix} {(2 n^{2} + n)}^{2} + {(2 n^{2} + n + 1)}^{2} + ... + {(2 n^{2} + 2 n)}^{2} = \\ = {(2 n^{2} + 2 n + 1)}^{2} + {(2 n^{2} + 2 n + 2)}^{2} + ... + {(2 n^{2} + 3 n)}^{2} . \end{matrix}

A két oldal egyenlőségének bizonyításához felhasználjuk, hogy az 1-től

k

-ig terjedő egész számok négyzeteinek

S (k)

összege

\begin{matrix} S (k) = 1^{2} + 2^{2} + ... + {(k - 1)}^{2} + k^{2} = \frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} . \end{matrix}

A bal oldal értéke két ilyen összeg különbségeként számítható:

\begin{matrix} S (2 n^{2} + 2 n) - S (2 n^{2} + n - 1) = \\ = \frac{(2 n^{2} + 2 n) (2 n^{2} + 2 n + 1) (4 n^{2} + 4 n + 1)}{6} - \frac{(2 n^{2} + n - 1) (2 n^{2} + n) (4 n^{2} + 2 n - 1)}{6} . \end{matrix}

Egyes tényezőket szorzattá alakítva, majd kiemeléssel és polinommá alakítással:

\begin{matrix} = \frac{1}{6} [2 n (n + 1) (2 n^{2} + 2 n + 1) {(2 n + 1)}^{2} - (2 n - 1) (n + 1) n (2 n + 1) (4 n^{2} + 2 n - 1)] = \\ = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} [(8 n^{3} + 12 n^{2} + 8 n + 2) - (8 n^{3} - 4 n + 1)] = \\ = S (n) \cdot (12 n^{2} + 12 n + 1) . \end{matrix}

Hasonlóan a jobb oldal:

\begin{matrix} S (2 n^{2} + 3 n) - S (2 n^{2} + 2 n) = \frac{1}{6} [(2 n^{2} + 3 n) (2 n^{2} + 3 n + 1) (4 n^{2} + 6 n + 1) - \\ - (2 n^{2} + 2 n) (2 n^{2} + 2 n + 1) (4 n^{2} + 4 n + 1)] = \\ = \frac{1}{6} [n (2 n + 3) (2 n + 1) (n + 1) (4 n^{2} + 6 n + 1) - 2 n (n + 1) (2 n^{2} + 2 n + 1) {(2 n + 1)}^{2}] = \\ = S (n) \cdot [(8 n^{3} + 24 n^{2} + 20 n + 3) - (8 n^{3} + 12 n^{2} + 8 n + 2)] = \\ = S (n) \cdot (12 n^{2} + 12 n + 1), \end{matrix}

vagyis valóban egyenlő a bal oldallal.

Minárik László (Tamási, Béri Balogh Á. g. IV. o. t.)

II. megoldás. A táblázat számainak szabályszerűségeire nem tekintve az

n

-edik sor középső (vagy kezdő-, vagy záró) tagját meghatározhatjuk egyenlettel is. Pl. az

x^{2}

középső tagra ‐ amely előtt is, utána is

n

tag áll ‐ teljesülnie kell az

\begin{matrix} {(x - n)}^{2} + {(x - n + 1)}^{2} + ... + {(x - 1)}^{2} + x^{2} = {(x + 1)}^{2} + {(x + 2)}^{2} + ... + {(x + n)}^{2} \end{matrix}

egyenletnek. Látható előre, hogy kifejtés után az

x

-től független tagok kiesnek:

\begin{matrix} x^{2} - 2 x [n + (n - 1) + ... + 1] = 2 x [1 + 2 + ... + (n - 1) + n] . \end{matrix}

Az egyik gyök 0, érdektelen, a másik pedig

\begin{matrix} x = 2 \cdot 2 (1 + 2 + ... + n) = 2 n^{2} + 2 n . \end{matrix}

Itt nincs szükség annak bizonyítására, hogy az egyenlőség fennáll. Csak azt mutatjuk meg, hogy

n = 1

, 2, 3, 4-re az előre felírt sorokat kapjuk.

x

értéke rendre

2 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 = 4

, ill. 12, ill. 24, ill. 40.

Barth Albert (Budapest, Madách I. g. III. o. t.)

Megjegyzések. 1. A felírt

n

-edik sor helyességét úgy is bizonyíthatjuk, hogy a bal oldal tagjait az első kivételével átvisszük a jobb oldalra és rendre levonjuk az ott álló tagokból. Az így adódó négyzetkülönbségeket szorzattá alakítva az alapok különbsége mindig

n

, az alapok összegei pedig számtani sorozatot alkotnak:

\begin{matrix} [{(2 n^{2} + 2 n + 1)}^{2} - {(2 n^{2} + n + 1)}^{2}] + [{(2 n^{2} + 2 n + 2)}^{2} - \\ - {(2 n^{2} + n + 2)}^{2}] + ... + [{(2 n^{2} + 3 n)}^{2} - {(2 n^{2} + 2 n)}^{2}] = \\ = n [(4 n^{2} + 3 n + 2) + (4 n^{2} + 3 n + 4) + ... + (4 n^{2} + 5 n)] = \\ = n \cdot n (4 n^{2} + 4 n + 1) = n^{2} {(2 n + 1)}^{2} = {(2 n^{2} + n)}^{2}, \end{matrix}

vagyis a jobb oldal egyenlő a bal oldalon hagyott egyetlen taggal.

Berecz Ágota (Makó, József A. g. III. o. t.)

2. A táblázat adott sorainak első, ill. utolsó alapszámát szorzattá alakítva is kaphatunk sejtést az

n

-edik sor kezdő, ill. záró alapszámára:

\begin{matrix} 1 \cdot 3, 2 \cdot 5, 3 \cdot 7, 4 \cdot 9, általában n (2 n + 1), ill. \\ 1 \cdot 5, 2 \cdot 7, 3 \cdot 9, 4 \cdot 11, általában n (2 n + 3) . \end{matrix}

(A középső tag többféleképpen bontható.)

Illi József (Szigetvár, Zrinyi M. g. IV. o. t.)