Kezdőlap


Feladat:	1194. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ringler András , Torner Zoltán
Füzet:	1963/május, 199 - 200. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/október: 1194. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Ismeretes, hogy $cos 2 x = 2 {cos}^{2} x - 1$ . Kifejezhetjük $cos 3 x$ -et is $cos x$ -szel:

\begin{matrix} cos 3 x = cos (2 x + x) = cos 2 x cos x - sin 2 x sin x = \\ = 2 {cos}^{3} x - cos x - 2 {sin}^{2} x cos x = 2 {cos}^{3} x - cos x - \\ - 2 (1 - {cos}^{2} x) cos x = (4 {cos}^{2} x - 3) cos x . & (2) \end{matrix}

Ezekkel (1) így alakul

\begin{matrix} {cos}^{2} x + 4 {cos}^{4} x - 4 {cos}^{2} x + 1 + (16 {cos}^{4} x - 24 {cos}^{2} x + 9) {cos}^{2} x = 1, \\ 2 {cos}^{2} x (8 {cos}^{4} x - 10 {cos}^{2} x + 3) = 0. \end{matrix}

Ez úgy lehet

0

, ha valamelyik tényező

0

. A második tényező eltűnése

{cos}^{2} x

-re másodfokú egyenletet ad. Ezt megoldva azt nyerjük, hogy (1) akkor teljesül, ha

\begin{matrix} vagy{cos}^{2}x = 0,vagy {cos}^{2} x = \frac{3}{4},vagy {cos}^{2} x = \frac{1}{2}, \end{matrix}

azaz ha

\begin{matrix} x_{1} = 90^{\circ} + n \cdot 180^{\circ}, x_{2} = 30^{\circ} + n \cdot 180^{\circ}, x_{3} = 150^{\circ} + n \cdot 180^{\circ}, \\ x_{4} = 45^{\circ} + n \cdot 180^{\circ}, x_{5} = 135^{\circ} + n \cdot 180^{\circ} (n egész szám) . \end{matrix}

0^{\circ} - 360^{\circ}

intervallumban az egyenletnek

10

megoldása van.
Az első három és az utolsó két megoldás összevonva egyszerűbben írható fel:

\begin{matrix} x' = 30^{\circ} + n \cdot 60^{\circ}, x " = 45^{\circ} + n \cdot 90^{\circ} . \end{matrix}

Ringler András (Esztergom, I. István g. III. o. t.)

II. megoldás. Az egyenletet

0

-ra redukálva a bal oldalt a

\begin{matrix} 2 cos u cos v = cos (u - v) + cos (u + v) \end{matrix}

azonosság ismételt alkalmazásával szorzattá alakíthatjuk:

\begin{matrix} \frac{1 + cos 2 x}{2} + \frac{1 + cos 4 x}{2} + {cos}^{2} 3 x - 1 = cos 3 x cos x + {cos}^{2} 3 x = \\ = cos 3 x (cos x + cos 3 x) = 2 cos 3 x cos x cos 2 x = 0. \end{matrix}

Így a gyökök a következő három egyenletből számíthatók:

\begin{matrix} cos 3 x = 0, & cos x = 0, & cos 2 x = 0, éspedig \\ 3 x = 90^{\circ} + n \cdot 180^{\circ}, & x = 90^{\circ} + n \cdot 180^{\circ}, & 2 x = 90^{\circ} + n \cdot 180^{\circ} . \end{matrix}

Az I. megoldás (2) azonossága mutatja, hogy

cos x = 0

mellett

cos 3 x = 0

is teljesül, ezért a második egyenlet nem hoz új gyököket. A megoldás ismét

\begin{matrix} x = 30^{\circ} + n \cdot 60^{\circ}, és x = 45^{\circ} + n \cdot 90^{\circ}, \end{matrix}

ahol

n

egész szám.

Torner Zoltán (Budapest, Piarista Gimn. III. o. t.)