Feladat: 1193. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Saftics György 
Füzet: 1963/május, 198 - 199. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Tengely körüli forgatás, Kocka, Mértani helyek, Térelemek és részeik, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1962/október: 1193. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel X és Y ugyanabban a pillanatban indulnak, továbbá sebességük és pályájuk hossza is egyenlő ‐ ti. a kocka élének 4-szerese ‐, azért mozgásukat egyszerre is fejezik be.Egyidejűleg érkeznek pályáik második, harmadik és negyedik szögpontjába is. Két kockaél befutása után X is, Y is C-ben van (1. ábra), ebben a helyzetben az XY szakasz Z felezőpontját azonosnak vesszük X-szel és Y-nal, tehát Z a C-ben van. Z az AB' lapbeli átló E felezőpontjából indul és végül ide tér vissza, a mozgás első, ill. harmadik negyedében pedig a BC' átló F, ill. a DB átló G felezőpontjában van. Megmutatjuk, hogy Z pályája ‐ mértani helye ‐ az EFCG négyszög kerülete.

 
 
1. ábra
 

Legyen X egy bizonyos pillanatban az AB él egy közbülső X1 pontjában. Ugyanekkor Y a B'C' él azon Y1 pontjában van, amelyre B'Y1=AX1. Tekintsük azt a síkot, amely átmegy az X1, Y1, B' pontokon, messe ez az AC átlót V-ben. Ekkor X1V∥BC, mert síkunk az ABCD és A'B'C'D' párhuzamos síkokat az X1V és B'Y1 egyenesekben metszi, B'Y1 viszont párhuzamos BC-vel. Így AX1V egy derékszögű egyenlő szárú háromszög, X1V=AX1, tehát az X1V és B'Y1 szakaszok irányukon felül hosszukban is megegyeznek. Ezért az X1VY1B' négyszög paralelogramma, ennélfogva X1Y1 átlójának Z1 felezőpontja ‐ a kiszemelt pillanatban éppen itt van a Z mozgó pont ‐ B'V átlót is felezi. Végül a B'V szakasz Z1 felezőpontja mindig az EF szakaszon van, mert B'V az ACB' háromszög B' csúcsát köti össze az AC oldal V pontjával, EF pedig az előrebocsátottak szerint ennek a háromszögnek AC-vel párhuzamos középvonala (F a B'C-t is felezi). Amíg tehát X leírja AB-t, addig V (ugyancsak egyenletes, de X-énél 2-ször nagyobb sebességgel) leírja AC-t, Z pedig EF-et.
Az EF szakasz minden Z1 pontja előáll az XY szakasz egy helyzetéből: a megfelelő V-t B'Z1 metszi ki AC-ből, X1-et pedig V-nek AB-n levő vetülete adja ‐ magán a szakaszon van ‐, ezzel Y1 is meg van határozva, éspedig a B'C' szakaszon.
Mozgásuk második szakaszában X és Y a BCC'B' síkban mozognak, bármely időpillanatban elfoglalt X2, Y2 helyzetükre BX2=C'Y2. Így CX2=CY2, a CX2Y2 derékszögű háromszög egyenlő szárú, az X2Y2 átfogó Z2 felezőpontján ‐ Z-nek pillanatnyi helyzetén ‐ az X2CY2 szög felezője is átmegy, tehát X2CZ2∢=45∘, így Z2 a CB' átlón van, pontosabban annak FC szakaszán.
Az FC szakasz minden Z2 pontja kiadódik XY egy helyzetéből, ennek végpontjait a Z2-n át FC-re állított merőleges metszi ki BC-ből, ill. C'C-ből.
X és Y mozgásának harmadik szakasza, a CD, ill. CB szakasz leírása, az ABCD síkban folyik le. A második szakaszéhoz hasonló meggondolás mutatja, hogy ebben az időszakban Z a CG szakaszt írja le.
 
 
2. ábra
 

Végül a mozgás negyedik szakasza az első szakaszhoz hasonló, mert X-nek és Y-nak ez alatt leírt DA, ill. BB' pályaszakaszai ugyanolyan kölcsönös helyzetben vannak, mint az első időszak AB, ill. B'C' szakasza (2. ábra): egymásba vihetők át azzal a forgással, amelynek tengelye az A'C testátló és amely D-t B-be viszi át. Az A'A, A'B', A'D', ill. CB, CC', CD ugyanis egymásra merőlegesek, a tengellyel pedig a kocka szimmetriája miatt egyenlő szöget zárnak be. Így a mondott forgás egymásba viszi át őket, tehát a tengelyre nem eső végpontjaikat is.
A mértani hely gyanánt kapott EFCG négyszög paralelogramma, mert EF párhuzamos és egyenlő az AC lapbeli átló felével, GC-vel. Az FC oldal is ekkora, ezért a mértani hely rombusz alakú. (Könnyű belátni azt is, hogy hegyes szöge 60∘-os. Ugyanis FG átlójának és EG oldalának végpontjai egyaránt két szomszédos kockalap középpontjai.)
 
Saftics György (Budapest, Apáczai Csere J. Gyak. Gimn. IV. o. t.)

 

Megjegyzés. Többen térbeli koordinátarendszert használtak a bizonyításban.