Kezdőlap


Feladat:	1192. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Hegedűs Csaba , Horváth József
Füzet:	1963/március, 131 - 133. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenlőtlenségek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Gyökös függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/október: 1192. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A bal oldal akkor és csak akkor valós, ha egyik négyzetgyökjel alatt sem áll negatív szám:

\begin{matrix} x + 1 ≧ 0 és 3 - x ≧ 0, tehát - 1 ≦ x ≦ 3. \end{matrix}

(2)

Az egyenlőtlenséget

\begin{matrix} \sqrt[]{3 - x} > \sqrt[]{x + 1} + \frac{1}{2} \end{matrix}

alakban írva a (2) alatti

x

-ekre egyik oldal sem negatív, ez az egyenlőtlenség akkor és csak akkor teljesül, amikor (1) is fennáll. Ezért a

- 1

és 3 közti

x

-ekre a négyzetre emeléssel és rendezéssel adódó

\begin{matrix} \frac{7}{4} - 2 x > \sqrt[]{x + 1} \end{matrix}

(3)

egyenlőtlenséget kell megoldanunk. Itt a bal oldal nem lehet negatív. Ez újabb korlátozást ad

x

-re:

\begin{matrix} x < \frac{7}{8} . \end{matrix}

(4)

Ezen

x

-ekre szorítkozva (3) újabb négyzetre emelésével, majd rendezéssel és gyöktényezőkre bontással

\begin{matrix} 4 x^{2} - 8 x + \frac{33}{16} > 0, \\ 4 (x - \frac{8 + \sqrt[]{31}}{8}) (x - \frac{8 - \sqrt[]{31}}{8}) > 0. \end{matrix}

Ez akkor és csak akkor teljesül, ha mindkét különbség pozitív, vagy ha mindkettő negatív:

\begin{matrix} x > 1 + \frac{\sqrt[]{31}}{8}, vagy x < 1 - \frac{\sqrt[]{31}}{8} . \end{matrix}

Az első ellentmond (4)-nek, a második pedig (4)-nél erősebb korlátozást ad. Ezt (2)-vel egybevetve a keresett

x

értékekre

\begin{matrix} - 1 \leq x < 1 - \sqrt[]{31} / 8. \end{matrix}

Hegedűs Csaba (Nagykanizsa, Landler J. g. III. o. t.)

II. megoldás. A

\sqrt[]{3 - x} - \sqrt[]{x + 1}

függvény a

- 1 ≦ x ≦ 3

intervallumban bír értelemmel. A függvény

x

növekedésével csökken. Ugyanis nagyobb számnak a négyzetgyöke is nagyobb, kisebbé kisebb, így ha

x

növekszik,

3 - x

és vele együtt

\sqrt[]{3 - x}

is csökken,

x + 1

és

\sqrt[]{x + 1}

növekszik, tehát

- \sqrt[]{x + 1}

csökken, ennélfogva

\begin{matrix} \sqrt[]{3 - x} - \sqrt[]{x + 1} = \sqrt[]{3 - x} + (- \sqrt[]{x + 1}) \end{matrix}

függvény mindkét összeadandója, s ezért az összeg is csökken.
A

- 1

helyen a függvény értéke 2, nagyobb

1 / 2

-nél, így a feladat kérdésére válaszolhatunk úgy, hogy meghatározzuk azt az

x_{0}

számot, amelyre a függvény az

1 / 2

értéket veszi fel. Ekkor (1) azokra az értékekre teljesül, amelyekre

- 1 ≦ x < x_{0}

. A

\begin{matrix} \sqrt[]{3 - x} - \sqrt[]{x + 1} = \frac{1}{2} \end{matrix}

(5)

egyenletből kétszeri négyzetre emeléssel és rendezésekkel sorra

\begin{matrix} 4 - 2 \sqrt[]{(3 - x) (x + 1)} = \frac{1}{4}, 225 = 64 (3 + 2 x - x^{2}) \\ 64 x^{2} - 128 x + 33 = 0. \end{matrix}

Az (5) egyenletet csak ennek az egyenletnek a gyökei, vagyis az

1 + \sqrt[]{31} / 8

és

1 - \sqrt[]{31} / 8

értékek elégíthetik ki. Az előbbire (5) bal oldala negatív, hiszen az

x = 1

helyen 0, és láttuk, hogy növekedő

x

-szel csökken. Az utóbbi helyen

\begin{matrix} \sqrt[]{3 - (1 - \frac{\sqrt[]{31}}{8})} = \frac{\sqrt[]{32 + 2 \sqrt[]{31}}}{4} = \frac{\sqrt[]{31 + 2 \sqrt[]{31} + 1}}{4} = \frac{\sqrt[]{31} + 1}{4}, és \\ \sqrt[]{(1 - \frac{\sqrt[]{31}}{8}) + 1} = \frac{\sqrt[]{31 - 2 \sqrt[]{31} + 1}}{4} = \frac{\sqrt[]{31} - 1}{4} . \end{matrix}

Így az (5) egyenlet csak az

x_{0} = 1 - \frac{\sqrt[]{31}}{8}

értékre teljesülhet és arra teljesül is. A feladatban szereplő egyenlőtlenség tehát teljesül azokra az

x

-ekre, amelyekre

\begin{matrix} - 1 ≦ x < 1 - \frac{\sqrt[]{31}}{8}, \end{matrix}

és más értékekre nem.

Horváth József (Esztergom, Temesvári Pelbárt g. III. o. t.)