Kezdőlap


Feladat:	1189. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Kontraszti Lajos
Füzet:	1963/március, 130. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hossz, kerület, Téglalapok, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/szeptember: 1189. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a derékszögű négyszög oldalai $a$ és $b$ . Feltehetjük, hogy $a ≧ b$ . A vele egyenlő területű négyzet oldalának hossza $\sqrt[]{a b}$ , így

\begin{matrix} a - b = 2 (a + b) - 4 \sqrt[]{a b} . \end{matrix}

Egyenletünk így is írható:

\begin{matrix} (\sqrt[]{a} + \sqrt[]{b}) (\sqrt[]{a} - \sqrt[]{b}) = 2 (a - 2 \sqrt[]{a b} + b) = 2 {(\sqrt[]{a} - \sqrt[]{b})}^{2}, \end{matrix}

amiből 0-ra redukálással és kiemeléssel

\begin{matrix} (\sqrt[]{a} - \sqrt[]{b}) (\sqrt[]{a} + \sqrt[]{b} - 2 \sqrt[]{a} + 2 \sqrt[]{b}) = (\sqrt[]{a} - \sqrt[]{b}) (3 \sqrt[]{b} - \sqrt[]{a}) = 0. \end{matrix}

Innen vagy

\sqrt[]{a} - \sqrt[]{b} = 0

a = b

, vagy

3 \sqrt[]{b} - \sqrt[]{a} = 0

a = 9 b

.
Az első eset semmitmondó, a négyszög maga is négyzet, az átlók merőlegesek.
Az átlók közti és a derékszögű négyszög valamelyik oldalára néző szög kétszer akkora, mint az átló és a másik oldal között levő szög. Az

a

oldal és az átló közti szöget

β

-val jelölve

tg β = b / a

, ebből

\begin{matrix} tg 2 β = \frac{2 b}{a} : (1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}) = \frac{2 a b}{a^{2} - b^{2}}, esetünkben \frac{9}{40}, \end{matrix}

és így

2 β \approx 12, 68^{\circ}

, a másik szög

167, 32^{\circ}

Kontraszti Lajos (Szolnok, Verseghy F. g. III. o. t)