Kezdőlap


Feladat:	1186. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Sófalvi Mihály
Füzet:	1963/február, 75. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Maradékos osztás, Feladat, Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/szeptember: 1186. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $n$ pozitív egész, akkor a $10^{n}$ szám a legkisebb $n + 1$ -jegyű természetes szám, $10^{n} - 1$ pedig a legnagyobb $n$ -jegyű természetes szám, valamennyi jegye 9-es. $n = 1, 2, 3$ esetén az állítás igaz, a $9 : 37$ , $99 : 37$ , $999 : 37$ osztások maradéka rendre 9, 25, 0, és ezek négyzetszámok. Abból, hogy a harmadik osztás maradéka 0, következik, hogy 3-nál nagyobb $n$ -et véve az első három 9-es nem befolyásolhatja a további 9-esekkel írt szám osztásából adódó maradékot. Ezért $n = 4, 5$ és 6-ra a maradék rendre ugyanaz, mint $n = 1, 2, 3$ -ra, továbbá $n$ értékét egyesével növelve állandóan ez a három maradék ismétlődik.
Valóban, ha $n > 3$ , vagyis $n - 3 > 0$ , természetes szám, akkor

\begin{matrix} 10^{n} - 1 = (10^{n} - 10^{n - 3}) + (10^{n - 3} - 1) = 10^{n - 3} (10^{3} - 1) + \\ + (10^{n - 3} - 1) = 37 \cdot 27 \cdot 10^{n - 3} + (10^{n - 3} - 1), \end{matrix}

az első tag osztható 37-tel, tehát a

(10^{n} - 1) : 37

osztás maradéka egyenlő a második tag,

10^{n - 3} - 1

osztásánál fellépő maradékkal.
Ezek szerint

n

bármely pozitív egész értékére a maradék vagy 9, vagy 25, vagy 0, minden esetre négyzetszám.

Sófalvi Mihály (Budapest, Bláthy O. techn. III. o. t.)

Megjegyzés. Néhány dolgozat tizedes jegyeket is tekintetbe vett a hányadosban, és így hibásnak találta az állítást. Egész számok közti maradékos osztáson az osztónál kisebb pozitív egész maradékkal végzett osztást szokás érteni. A ,,négyzetszám'' megjelölésen is egész szám négyzetét értjük. Ha tizedes jegyeket is számítunk, akkor teljesen önkényes, hogy hányadik jegynél állunk meg, tehát a maradék is határozatlanná válik.