Feladat: 1185. matematika feladat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bak Zsuzsanna ,  Hanák Péter 
Füzet: 1963/május, 193 - 194. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Másodfokú diofantikus egyenletek, Oszthatósági feladatok, Tizes alapú számrendszer, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1962/szeptember: 1185. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. (2) felhasználásával (1) ígyalakítható:

103a+102b+10c+d=8a2+24b2+a+b,999a+99b+10c+d=8a2+24b2.(3)


Itt egy tag sem negatív. Ezért a bal oldalon csak az első tagot megtartva ez az oldal csökken, vagy változatlan marad. A jobb oldal viszont növekszik, vagy változatlan marad, ha a és b helyére legnagyobb lehetséges értéküket írjuk, 9-et. Így következő egyenlőtlenséget kapjuk:
999a≦(8+24)92=2592,amibőla≦2.

Másrészt mint kezdő számjegy a≧1. Nem jöhet azonban szóba a=2, mert így (3)-ból
10c+d=24b2-99b-1966,
és itt a jobb oldal minden b számjegyre negatív, ugyanis
24b2-99b-1966≦24b2-1966≦24⋅81-1966=-22.
Marad tehát, hogy a=1. Hasonló megoldás mutatja, hogy a=1 mellett is csak b=9 lehetséges, mert a=1, b=8 mellett még 10c+d=-254, lehetetlen. Így c, d-re (2)-ből és (3)-ból
c2+d2=40,10c+d=62.
E rendszer két megoldása közül csak c=6, d=2 tagjai felenek meg számjegy gyanánt. ‐ Ezek szerint a keresett szám 1962; ez valóban kielégíti mindkét feltételt.
 
Bak Zsuzsanna (Ráckeve, Ady E. Gimn. III. o. t.)

 

II. megoldás. (2) szerint b2-a2 páros, ezért vagy b2 és a2 mindegyike páros, vagy mindegyikük páratlan. Így ugyanaz áll b és a-ra, mert páros négyzetszám alapja páros, páratlan négyzetszámé pedig páratlan. Ezért a+b páros, vele (1) jobb oldala is páros, tehát d páros. Másrészt c2+d2 is páros, mert egyenlő b2-a2 felével, márpedig b2-a2=(b-a)(b+a), mindkét tényezője páros, s így a szorzat osztható 4-gyel. Ennélfogva c2 és vele c is páros.
Továbbá (2) szerint b>a, és a baloldal legnagyobb lehetséges értéke 92-12=80, ezért c2+d2 nem lehet nagyobb 40-nél. Így a c, d számjegypárra csak az alábbi 7 értékpár jön szóba, belőlük (2) alapján könnyen megkapjuk a mellettük lehetséges a, b értékpárokat, és így kiszámíthatjuk (1) jobb oldalának J értékét. (A jobb oldal c és d-ben szimmetrikus, így c, d felcserélése felesleges.) Ha így az éppen használt a, b, c, d számjegyekkel felírt szám adódik ki, akkor megoldást kaptunk. Csak az első ilyen próba sikeres, a keresett szám 1962.
 

c,  db2-a2ba J6, 280911962  megoldás  6, 072932028  4, 46480nem felel meg, mert  a>0  4, 2407312584, 03262  9049723522, 21653  680  2, 0831  228


 
Hanák Péter (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn. III. o. t.)