Kezdőlap


Feladat:	1184. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Haáder Lea
Füzet:	1963/február, 57. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletek, Exponenciális egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/szeptember: 1184. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenletben kétszer előforduló $0, 12^{0, 12 x}$ kifejezést $y$ -nal jelölve első lépésül a

\begin{matrix} \sqrt[]{y + 5} + \sqrt[]{y + 6} = 5 \end{matrix}

(1)

egyenletet oldjuk meg. Négyzetreemeléssel, az adódó gyökös kifejezésnek egyedül az egyik oldalra helyezésével és újabb négyzetreemeléssel rendre

\begin{matrix} 2 y + 11 + 2 \sqrt[]{(y + 5) (y + 6)} = 25, \\ (y + 5) (y + 6) = y^{2} + 11 y + 30 = {(7 - y)}^{2} = 49 - 14 y + y^{2}, \\ y = 0, 76. \end{matrix}

Ezzel a bal oldal értéke

2, 4 + 2, 6 = 5

, tehát a kapott érték megoldása az (1) egyenletnek.
Mostmár a

0, 12^{0, 12 x} = 0, 76

tiszta exponenciális egyenletből a szokásos lépésekkel számítva

x

közelítő értékét:

\begin{matrix} x = \frac{lg 0, 76}{0, 12 \cdot lg 0, 12} = \frac{0, 8808 - 1}{0, 12 (0, 0792 - 1)} = \frac{0, 1192}{0, 12 \cdot 0, 9208}, \\ lg x - lg 0, 1192 - (lg 0, 12 + lg 0, 9208) = 0, 0328, \\ x = 1, 078, vagy 1, 079. \end{matrix}

(A kétszeri logaritmuskeresés után csak az első 3 számjegyre kaptunk pontos értéket.)

Haáder Lea (Székesfehérvár, Teleki B. lg. III. o. t.)