|
Feladat: |
1179. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Aleva Gy. , Aleva György , Ámon Magdolna , Benczúr András , Berecz Ágota , Bodoky Andrea , Dobó Ferenc , Fazekas P. , Fejéregyházi Sándor , Fodor J. , Fodor János , Gálfi László , Gerencsér László , Gyárfás András , Lehel Cs. , Lehel Jenő , Major J. , Makai Endre , Malatinszky Gábor , Máté Attila , Nagy Dénes L. , Négyessy M. , Nováky Béla , Papp L. , Sebestyén Zoltán , Seprődi László , Szepesvári István , Szidarovszky Ágnes , Tamás Géza , Zalán Péter |
Füzet: |
1963/október,
51 - 53. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek hasonlósága, Egyéb sokszögek hasonlósága, Tengelyes tükrözés, Diszkusszió, Háromszögek szerkesztése, Feladat, Középponti és kerületi szögek |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1962/május: 1179. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Legyen az adott szög , a feltételnek megfelelő egyenlő szárú háromszög alapja legyen az száron, közelebb -hoz, az csúcs az száron; az száron fekvő adott pont legyen , az -n fekvő .
1. ábra A háromszög egyenlő szárú voltából következik, hogy és . Ábránkat úgy alakíthatjuk át, hogy az utóbbi két szög, melyek összege , egy négyszög két szögébe menjen át, s így a másik két szög között is összefüggést állapíthatunk meg. Tükrözzük -t -ra, legyen a tükörképe . Ekkor az négyszög -nél, -nál, ill. -nél levő szöge , , ill. s így az -nál levő szög , ami az adatokból megszerkeszthető. Ennek a szögnek szára átmegy -n, az szár pedig átmegy -nek az -ra vonatkozó tükörképén. Ezek szerint -t -ből a szakasz fölé írt nyílású látószögkörív metszi ki, -t és -t pedig , ill. metszi ki -ből. Az háromszög megfelel a követelményeknek, mert a szög felezőjének egy pontját -vel jelölve
tehát , vagyis , az háromszög egyenlő szárú. hegyes szög, ezért a szög és közé esik. Így az ív a egyenesnek -val ellentétes partján szerkesztendő, ugyanis benne van a -nál kisebb szög terében. mindig metszi az félegyenest, mert végpontjait szétválasztja, ugyanezért mindig pontosan egy metszéspontot kapunk céljára. mindig a és -n át -re állított merőlegesnek -nel való , metszéspontjai között adódik, tehát mindig megfelelő háromszöget kapunk. Ugyanis -nak -ből vett látószöge kisebb a szögnél, -ből vett látószöge pedig nagyobb nála. (Az utóbbi esetben azt a szögtartományt értjük a látószögön, amelynek belső pontja.) Valóban
mert feltevésünk szerint benne van az háromszögben. Másrészt ugyanezért | |
Ha egybeesik -vel, vagyis , akkor egyenlőtlenségeink helyén egyenlőség áll, azonos -vel, a megoldás egyenesszakasszá fajul. Még egy megoldást kapunk, ha egyenlő szárú háromszögünk alapját az száron keressük. Az imént mondott elfajulás csak az egyik esetben következhet be.
Benczúr András (Budapest, Fazekas M. g.) dolgozatából, a diszkussziót kiegészítve
Sok számolásos megoldás érkezett. Egy ilyet vázolunk, a diszkussziót az olvasóra bízzuk.
2. ábra II. megoldás. Húzzunk párhuzamost -mel -n és -n át, legyen és vetülete az előbbin , ill. , vetülete az utóbbin . Az , és az , háromszögpárok nyilvánvaló hasonlóságából: ezért , , , jelöléssel ( negatív is lehet):
Sebestyén Zoltán (Celldömölk, Berzsenyi D. g.) |
|