Kezdőlap


Feladat:	1178. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fazekas Patrik , Máté Zoltán
Füzet:	1963/március, 122 - 123. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kúpszeletek érintői, Parabola, mint mértani hely, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/május: 1178. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen az $F$ fókusz és a $P$ pont vetülete az irányvonalon $F'$ , ill. $P'$ , továbbá $P$ vetülete a tengelyen $P''$ . Így a feladat szerint $P Q = p = F F'$ , másrészt $Q R = P'' P = F' P'$ , eszerint a $Q$ -nál, ill. $F'$ -nél derékszögű $P Q R$ és $F F' P'$ háromszögek egybevágók.

E háromszögek mondott körüljárási irányai megegyezők, mert a szerkesztés szerint a

P, Q, R

körüljárási irány egyezik a

P, P'', F'

iránnyal, az utóbbi a

P P'' F' P'

konvex négyszög (téglalap) körüljárásával, s így megegyezik a

P'' F' P'

körüljárással is, végül az

F F'

irány ugyanaz, mint a

P'' F'

irány. Így a két háromszög egymásba síkbeli forgatással átvihető. Ámde

P Q ⊥ F F'

, ezért

P R ⊥ F P'

.
A parabola ismert tulajdonsága, hogy a

P

-beli érintője azonos az

F P'

szakasz felező merőlegesével. Minthogy pedig

P

-n át

F P'

-re csak egy merőleges húzható, a

P R

egyenes azonos a parabola

P

-beli érintőjével.

Fazekas Patrik (Mosonmagyaróvár, Kossuth L. g. III. o. t.)

Megjegyzések. 1. Lényegében azonos megoldást kapunk a parabola azon tulajdonságainak felhasználásával, hogy a

P

-beli érintőnek a tengellyel való

P^{*}

metszéspontja azonos

P''

-nek a parabola

C

csúcsára való tükörképével, vagy hogy

F

-nek az érintőn levő vetülete rajta van a

C

-beli érintőn.
2. Meggondolásunk nem érvényes arra az esetre, ha

P

azonos

C

-vel. Erre az esetre

Q

szerkesztése kétértelmű, azonban bármelyik lehetőségből kiindulva közvetlenül látható az állítás helyessége.

II. megoldás. Legyen a parabola egyenlete

y^{2} = 2 p x

(p > 0)

; induljunk ki a pontból. A

C

csúcspontot egyelőre kizárva az általánosság korlátozása nélkül feltehetjük, hogy

y_{1}

pozitív (amiből

x_{1} > 0

is következik), mert a parabola két, a tengelyre tükrös pontjából kiindulva az előírt szerkesztés a tengelyre tükrös egyenesekre vezet, márpedig tükrös pontokban az érintők is tükrösek.
Az előírás szerint

Q

koordinátái (

x_{1}

y_{1} - p

R

-éi (

x_{1} - y_{1}

y_{1} - p

), így az

R P

egyenes iránytényezője és egyenlete:

\begin{matrix} \frac{y_{1} - (y_{1} - p)}{x_{1} - (x_{1} - y_{1})} = \frac{p}{y_{1}}, y - y_{1} = \frac{p}{y_{1}} (x - x_{1}) . \end{matrix}

Innen rendezéssel

\begin{matrix} y y_{1} = p (x - x_{1}) + y_{1}^{2} = p (x + x_{1}) + (y_{1}^{2} - 2 p x_{1}) = p (x + x_{1}) \end{matrix}

(felhasználtuk, hogy az utolsó előtti alak második zárójeles különbsége 0, mert

P

rajta van a parabolán). Így pedig a kapott egyenlet azonos a felvett parabola érintője egyenletének emlékezetben tartásra ajánlott alakjával.
Ha

y_{1} = 0

, s így

x_{1} = 0

, vagyis

P

azonos a

C

csúccsal, akkor

Q

gyanánt a

(0, p)

és

(0, - p)

pontok egyaránt szóba jönnek,

R

mindkettőben azonos

Q

-val, és így

R P

egyenlete

x = 0

, vagyis az

Y

-tengely. Az állítás ekkor is helyes.

Máté Zoltán (Bonyhád, Petőfi S. g. III. o. t.)