Kezdőlap


Feladat:	1177. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ámon Magdolna , Antal Magdolna , Benczúr András , Bodoky Andrea , Dobó Ferenc , Farkas Zoltán , Fazekas P. , Fejéregyházi Sándor , Fodor János , Földeáki Mária , Gálfi László , Gecsey László , Gerencsér László , Kacsó A. , Kohut József , Lehel Jenő , Major János , Makai Endre , Malatinszky G. , Máté Attila , Nagy Dénes Lajos , Naszályi F. , Nováky Béla , Papp L. , Pázmándi László , Raisz M. , Sebestyén Zoltán , Sonnevend György , Surányi Andor , Szentai Judit , Szép András , Szidarovszky Ágnes , Szidarovszky Ferenc , Szigeti Ferenc , Tamás Endre , Tamás G. , Zalán Péter , Zalay M.
Füzet:	1963/március, 120 - 121. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Abszolútértékes egyenlőtlenségek, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenség-rendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/május: 1177. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Feltesszük, hogy az egyenletnek vannak (valós) gyökei, azaz hogy $b^{2} - 4 a c ≧ 0$ . Azt is feltehetjük, hogy $a > 0$ , mert ellenkező esetben a bal oldalt a negatívjával helyettesíthetjük. Ekkor a gyökképlet nevezőjében pozitív szám áll, számlálójának abszolút értéke vagy a tagok abszolút értékének összegével egyenlő, vagy kisebb annál (ti. ha egyik tag negatív, a másik pozitív). Eszerint

\begin{matrix} | x | ≦ \frac{| b | + \sqrt[]{b^{2} - 4 a c}}{2 a} . \end{matrix}

(2)

(A négyzetgyökön a nem negatív gyököt értjük, az tehát egyenlő az abszolút értékével.) Elegendő tehát azt megmutatnunk, hogy

\begin{matrix} \frac{| b | + \sqrt[]{b^{2} - 4 a c}}{2 a} ≦ \frac{2 | a c | + b^{2}}{| a b |} = \frac{2 a | c | + b^{2}}{a | b |}, \end{matrix}

másképpen, hogy a jobb és a bal oldal különbsége:

\begin{matrix} \frac{2 a | c | + b^{2}}{a | b |} - \frac{| b | + \sqrt[]{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{4 a | c | + b^{2} - | b | \cdot \sqrt[]{b^{2} - 4 a c}}{2 a | b |} \end{matrix}

(3)

nem negatív. Bővítsük evégett a törtet a

\begin{matrix} 4 a \cdot | c | + b^{2} + | b | \cdot \sqrt[]{b^{2} - 4 a c} \end{matrix}

kifejezéssel. Ez pozitív, mert második tagja pozitív, a másik kettő pedig nem negatív, ezért a nevező pozitív lesz, a számláló pedig

\begin{matrix} {(4 a \cdot | c | + b^{2})}^{2} - b^{2} (b^{2} - 4 a c) = 16 a^{2} c^{2} + 4 a b^{2} (2 | c | + c) . \end{matrix}

(4)

Az utóbbi alak szerint egyik tag sem lehet negatív, mert a zárójelben

3 | c |

, ill.

| c |

áll aszerint, hogy

c

pozitív vagy negatív. Így a bővített tört számlálója nem lehet negatív, tehát a (3) tört sem. Ezzel az állítást bebizonyítottuk.
(2)-ben a nagyobb abszolút értékű gyökre egyenlőség áll fenn, mert a négyzetgyök előjele az egyik gyök esetében megegyezik

- b

előjelével. Ezért (1)-ben akkor és csak akkor áll egyenlőség, ha (3), és vele (4) értéke

0

. Ez nyilván csak

c = 0

mellett következik be.

c \neq 0

esetében pedig (1)-ben a

<

jel érvényes.
Fodor János (Miskolc, Földes F. g. IV. o. t.)

II. megoldás. Alakítsuk át (1) jobb oldalát az ismert

b = - a (x_{1} + x_{2}),

c = a x_{1} x_{2}

összefüggések alapján, továbbá válasszuk a gyökök indexeit úgy, hogy teljesüljön

\begin{matrix} | x_{2} | ≧ | x_{1} | . Így az \end{matrix}

(5)

\begin{matrix} | x_{2} | ≦ \frac{2 | a^{2} x_{1} x_{2} | + a^{2} {(x_{1} + x_{2})}^{2}}{| - a^{2} (x_{1} + x_{2}) |} = \end{matrix}

(6)

\begin{matrix} = \frac{2 | x_{1} x_{2} | + {(x_{1} + x_{2})}^{2}}{| x_{1} + x_{2} |} = \frac{2 | x_{1} x_{2} |}{| x_{1} + x_{2} |} + | x_{1} + x_{2} | \end{matrix}

egyenlőtlenséget kell igazolnunk. (A nevező

b \neq 0

miatt nem 0.)
Ha

x_{1}

és

x_{2}

egyező előjelű, vagy

x_{1} = 0

, (mind a kettő nem lehet 0, mert

b \neq 0

), akkor összegük abszolút értéke egyenlő az abszolút értékeik összegével. Ebben az esetben tehát (6) jobb oldala így írható

\begin{matrix} \frac{2 | x_{1} x_{2} |}{| x_{1} + x_{2} |} + | x_{1} + x_{2} | = \frac{2 | x_{1} x_{2} |}{| x_{1} + x_{2} |} + | x_{1} | + | x_{2} | ≧ x_{2} . \end{matrix}

x_{1}

és

x_{2}

egyike pozitív, a másik negatív, akkor összegük abszolút értéke (5) alapján

| x_{2} | - | x_{1} |

-gyel egyenlő (és

b \neq 0

miatt ez a különbség sem 0). Így (6) jobb oldala ‐ felhasználva most azt is, hogy szorzat abszolút értéke a tényezők abszolút értékének szorzatával egyenlő ‐

\begin{matrix} \frac{2 | x_{1} x_{2} |}{| x_{1} + x_{2} |} + | x_{1} + x_{2} | = \frac{2 | x_{1} | \cdot | x_{2} |}{| x_{2} | - | x_{1} |} + | x_{2} | - | x_{1} | = \end{matrix}

\begin{matrix} = | x_{2} | + \frac{2 | x_{1} | \cdot | x_{2} | - | x_{1} | \cdot | x_{2} | + | x_{1} |^{2}}{| x_{2} | - | x_{1} |} = | x_{2} | + \frac{| x_{1} | (| x_{2} | + | x_{1} |)}{| x_{2} | - | x_{1} |} > | x_{2} | . \end{matrix}

Ezzel igazoltuk a (6) egyenlőtlenséget, s így (1)-et is.
Lehel Jenő (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. III. o. t.)

Megjegyzés. A második esetben az utolsó előtti kifejezés így alakítható tovább:

\begin{matrix} | x_{2} | + | x_{1} | + \frac{2 | x_{1} |^{2}}{| x_{2} | - | x_{1} |} > | x_{2} | + | x_{1} |, \end{matrix}

és világos, hogy az első esetben sem kisebb (6) jobb oldala, mint

| x_{1} | + | x_{2} |

. Így fennáll az

\begin{matrix} | x_{1} | + | x_{2} | ≦ \frac{2 | a c | + b^{2}}{| a b |} . \end{matrix}

egyenlőtlenség is, és egyenlőség továbbra is csak akkor következik be, ha az egyik gyök, s így

c

is 0.