Kezdőlap


Feladat:	1175. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fekete Sándor
Füzet:	1962/november, 134. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Euler-formula, Feladat, Egyéb poliéderek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/április: 1175. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a szóban forgó poliéder ötszöglapjainak száma $x$ , hatszöglapjaié pedig $y$ . Másféle lapja nincs, ezért lapjainak száma: $l = x + y$ . Gondoljuk, hogy a poliéder modelljét különálló lapjaiból állítjuk össze. Eredetileg az ötszöglapoknak összesen $5 x$ , a hatszöglapoknak $6 y$ oldaluk van. Az összeillesztéskor minden él 2 sokszögoldalból áll elő, ezért az élek száma:

\begin{matrix} é = \frac{5 x + 6 y}{2} = \frac{5 x}{2} + 3 y . \end{matrix}

Hasonlóan a kétféle lapoknak

5 x

, ill.

6 y

csúcsuk van, ezekből 3‐3 esik egy poliédercsúcsba, így ezek száma

\begin{matrix} c = \frac{5 x + 6 y}{3} = \frac{5 x}{3} + 2 y . \end{matrix}

Ezeket az Euler‐féle poliédertétel

l + c = é + 2

egyenlőségébe helyettesítve

y

kiesik, mert együtthatói a két oldalon egyenlők:

1 + 2

, ill. 3. Így az összefüggés egyismeretlenes egyenletet ad

x

-re:

\begin{matrix} x + \frac{5 x}{3} = \frac{5 x}{2} + 2, amiből x = 12. \end{matrix}

Ezt kellett bizonyítanunk.

Fekete Sándor (Balassagyarmat, Szántó Kovács J. g. III. o. t.)