Kezdőlap


Feladat:	1173. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Raisz Miklós , Renner Gábor
Füzet:	1963/március, 115 - 117. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek egybevágósága, Háromszögek hasonlósága, Szögfelező egyenes, Szinusztétel alkalmazása, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/április: 1173. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyenek az $A B C$ háromszög szögei rendre $α, β, γ$ és $α : β : γ = 1 : 2 : 4$ . Az állítás szerint a $B C / A B = a / c = ϱ$ arány közelítőleg $4 / 9$ .

1. ábra

Húzzuk meg a

β

-szög

B B'

felezőjét és legyen

A B' = b_{1}

B' C = b_{2}

. Az

A B B'

háromszög egyenlő szárú, mert

β = 2 α

, és így

β / 2 = α

. Innen egyrészt

\begin{matrix} cos α = \frac{A B / 2}{A B'} = \frac{c}{2 b_{1}}, \end{matrix}

(1)

másrészt a szögfelező osztási arányára vonatkozó tétel szerint

\begin{matrix} b_{1} / b_{2} = c / a = 1 / ϱ . \end{matrix}

(2)

B B' C

háromszög hasonló

A B C

-höz, mert

C

-nél levő szögük közös és

C B B' ∢ = α = B A C ∢

. Innen

\begin{matrix} b_{2} : a = a : (b_{1} + b_{2}), \end{matrix}

(2) alapján

b_{2}

-t

ϱ b_{1}

-gyel helyettesítve

\begin{matrix} ϱ b_{1} (b_{1} + ϱ b_{1}) = a^{2} = ϱ^{2} c^{2}, \frac{c}{b_{1}} = \sqrt[]{1 + \frac{1}{ϱ}}, és így \end{matrix}

\begin{matrix} cos α = \frac{1}{2} \sqrt[]{1 + \frac{1}{ϱ}}, sin α = \sqrt[]{1 - cos^{2} α} = \sqrt[]{\frac{3}{4} - \frac{1}{4 ϱ}} \approx \frac{\sqrt[]{3}}{4} \approx 0, 4330. \end{matrix}

Mivel a szögek adott arányából

α = 180^{\circ} / 7

, vagyis

α

a szabályos hétszög egy oldalához tartozó középponti szög fele, azért az

r

sugarú körbe írt szabályos hétszög egy oldala

\begin{matrix} a_{7} = 2 r sin \frac{180^{\circ}}{7} = 2 r sin α, \end{matrix}

így közelítőleg

\begin{matrix} a_{7} \approx \frac{\sqrt[]{3}}{2} r, \end{matrix}

vagyis az

r

sugarú körbe írt szabályos hétszög oldala közelítőleg akkora, mint az

r

oldalú szabályos háromszög magassága. Ez ismert közelítő eljárás a szabályos hétszög szerkesztésére.

sin α

értéke a táblázatból

0, 4339

, tehát a közelítő érték hiánnyal közelít és relatív hibája

0, 3 %

alatt van.

Raisz Miklós (Miskolc, Földes F. g. III. o. t.)

Megjegyzés. Akkor is egy az eredetihez hasonló rész-háromszöget kapunk

A B C

-ből, ha a

γ = 4 α

szögnek a

C B

oldalhoz közelebbi

C C'

negyedelőjét húzzuk meg:

C B C' △ \sim A B C △

, mert

B

-nél közös szögük van és

B C C' ∢ = γ / 4 = α = B A C ∢

. Továbbá a másik rész-háromszög itt is egyenlő szárú, mert

C C' A ∢ = C' C B ∢ + C B C' ∢ = α + 2 α = 3 α = 3 γ / 4 = C' C A ∢

. Így

\begin{matrix} B C' : B C = B C : B A, B C' = \frac{a^{2}}{c} = {(\frac{a}{c})}^{2} c \approx ϱ^{2} c, \end{matrix}

\begin{matrix} b = A C = A C' = A B - C' B = (1 - ϱ^{2}) c, \end{matrix}

tehát az

A B C

háromszög oldalainak aránya

\begin{matrix} a : b : c : = ϱ c : (1 - ϱ^{2}) c : c = ϱ : (1 - ϱ^{2}) : 1 \approx 4 : \frac{65}{9} : 9. \end{matrix}

(3)

2. ábra

Ha már most olyan

A^{*} B^{*} C^{*}

háromszöget szerkesztünk, amelyben a három oldal aránya pontosan megfelel (3)-nak, akkor az

A^{*}

B^{*}

csúcsnál levő szög közelítőleg

180^{\circ} / 7

, ill.

360^{\circ} / 7

, ezért a

B^{*}

körül

B^{*} A^{*}

sugárral írt körből a

B^{*} C^{*}

, valamint az

A^{*} C^{*}

-gal párhuzamos

B^{*} E^{*}

sugarak

D

E

végpontjait

A^{*}

-hoz hozzávéve az ezen körbe írt szabályos hétszögre 3 csúcs helyzetét ismerjük jó közelítéssel.
Valóban

\begin{matrix} cos B^{*} A^{*} C^{*} ∢ = \frac{81^{2} + 65^{2} - 36^{2}}{2 \cdot 81 \cdot 65} = \frac{73}{81}, \end{matrix}

ebből

\begin{matrix} sin B^{*} A^{*} C^{*} ∢ = \frac{4 \sqrt[]{77}}{81} \approx 0, 4333, \end{matrix}

vagyis a közelítés hibája biztosan alatta van

0, 2 %

-nak.
Ha a közelítően szabályos hétszöget egy adott sugarú körben keressük, akkor egyszerűen így járhatunk el: a középpontot

B^{*}

-nak véve egy sugarat

9

egyenlő részre osztunk, föléje mint átfogó fölé olyan derékszögű háromszöget szerkesztünk, melyben a

B^{*}

-ból kiinduló befogó

4

rész hosszúságú. Ekkor a másik befogó vetülete az átfogón

9 - 16 / 9

, és így a

9

65 / 9

4

oldalakkal szerkesztett háromszög megfelelő (3. ábra).

3. ábra

Quittner Pál (feldolgozó munkatárs)

II. megoldás a feladat első részére. A fenti jelölésekkel a színusz-tétel alapján

\begin{matrix} ϱ = a / c = sin α / sin (α + β) = sin α / sin 3 α, \end{matrix}

tehát az addiciós tételből kapható

sin 3 α = sin α (3 - 4 sin^{2} α)

kifejezés behelyettesítésével, majd

sin α

-val (ami nem 0) egyszerűsítve:

\begin{matrix} ϱ sin 3 α = sin α (3 ϱ - 4 ϱ sin^{2} α) = sin α, \end{matrix}

\begin{matrix} 4 ϱ sin^{2} α = 3 ϱ - 1, sin α = \sqrt[]{\frac{3}{4} - \frac{1}{4 ϱ}} \approx \frac{\sqrt[]{3}}{4}, \end{matrix}

mint az I. megoldásban.

Renner Gábor (Budapest, I. István g. IV. o. t)