Kezdőlap


Feladat:	1171. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Batizi László , Lehel Jenő , Szirai József
Füzet:	1963/február, 54 - 56. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Tengelyes tükrözés, Derékszögű háromszögek geometriája, Egyenesek egyenlete, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/április: 1171. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen a derékszög csúcsa $C$ , az (adott) állandó $k$ , és messe egy a követelménynek megfelelő $e_{1}$ egyenes a szárakat $A_{1}$ -ben, ill. $B_{1}$ -ben. Ekkor

\begin{matrix} \frac{1}{C A_{1}} + \frac{1}{C B_{1}} = k . \end{matrix}

(1)

Tükrözzük ábránkat a derékszög

f

felezőjére. Ekkor a derékszög szárai egymásba mennek át. Legyen

e_{1}

tükörképének,

e_{2}

-nek a

C A_{1}

C B_{1}

száron levő metszéspontja

A_{2}

, ill.

B_{2}

. Ekkor nyilván

C A_{2} = C B_{1}

C B_{2} = C A_{1}

, így

e_{2}

szintén megfelelő egyenes. Eszerint az állításban szereplő (állandó) pont csak

e_{1}

és

e_{2}

metszéspontja lehet. Ez viszont azonos

e_{1}

és

f

metszéspontjával,

M

-mel, mert ez a tükrözéssel önmagába megy át, és így

e_{2}

-nek is pontja.
Számítsuk ki

M

-nek a száraktól mért távolságát.

M

-nek

C A_{1}

-en levő vetületét

M'

-vel jelölve az

A_{1} B_{1} C

és

A_{1} M M'

közös hegyes szöggel bíró derékszögű háromszögek hasonlóságából, figyelembe véve, hogy a

C M M'

derékszögű háromszög egyenlő szárú,

\begin{matrix} \frac{M' M}{C B_{1}} = \frac{M' A_{1}}{C A_{1}} = \frac{C A_{1} - C M'}{C A_{1}} = 1 - \frac{M' M}{C A_{1}} . \end{matrix}

Innen átrendezéssel és (1) figyelembevételével

\begin{matrix} M' M (\frac{1}{C A_{1}} + \frac{1}{C B_{1}}) = k \cdot M' M = 1, tehát M' M = \frac{1}{k}, \end{matrix}

állandó, független

e_{1}

helyzetétől. Eszerint minden a feltételnek megfelelő egyenes átmegy

f

-nek a száraktól

1 / k

távolságban levő

M

pontján. Ezzel az állítást bebizonyítottuk és az állandó pont helyzetét is meghatároztuk.
A felhasznált

A_{1} B_{1} C

háromszög mindig létezik, mert

A_{1}

nem eshet

C

-be, ‐ különben ugyanis (1)-nek nem volna értelme ‐, és

B_{1}

sem eshet

C

-be.

Batizi László (Budapest, Bem J. g. IV. o. t.)

II. megoldás. Vegyük az adott derékszög szárai gyanánt a derékszögű koordinátarendszer két tengelyének pozitív felét és tegyük fel, hogy az

y = m_{1} x + b_{1}

egyenlettel jellemzett

e_{1}

egyenes megfelel a feltételnek. Ekkor

e_{1}

-nek az

Y

-tengely pozitív felével való metszéspontja a

B_{1} (0, b_{1})

pont, ahol

b_{1} > 0

. Messe

e_{1}

X

-tengely pozitív felét az

a_{1} (> 0)

abszcisszájú

A_{1}

pontban, eszerint

\begin{matrix} \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{b_{1}} = k, állandó . \end{matrix}

(2)

e_{1}

egyenletéből

m_{1}

-et kiküszöbölhetjük, ugyanis

A_{1}

és

B_{1}

koordinátáiból

m_{1} = - b_{1} / a_{1}

. Így az egyenlet

\begin{matrix} y = - \frac{b_{1}}{a_{1}} x + b_{1}, másképpen \frac{x}{a_{1}} + \frac{y}{b_{1}} = 1 \end{matrix}

(3)

(az egyenes egyenletének ún. tengelymetszetes alakja; csak akkor használható, ha az egyenes egyik tengellyel sem párhuzamos és
az origón sem megy át).
Legyenek egy másik, a követelménynek megfelelő

e_{2}

egyenes tengelymetszetei

a_{2}

és

b_{2}

, ekkor egyenlete

\begin{matrix} \frac{x}{a_{2}} + \frac{y}{b_{2}} = 1, ahol & (4) \\ \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{b_{2}} = k, & (5) \end{matrix}

és számítsuk ki

e_{1}

és

e_{2}

metszéspontjának,

M

-nek koordinátáit. Ha ezeket

a_{1}

b_{1}

a_{2}

és

b_{2}

-től függetlennek találjuk, ezzel az állítást igazoltuk. A (3)-ból és (4)-ből a törtek eltávolításával adódó

\begin{matrix} b_{1} x + a_{1} y = a_{1} b_{1}, b_{2} x + a_{2} y = a_{2} b_{2} \end{matrix}

egyenletrendszerből

M

koordinátái

\begin{matrix} x_{M} = \frac{a_{1} a_{2} (b_{2} - b_{1})}{a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}}, y_{M} = \frac{b_{1} b_{2} (a_{2} - a_{1})}{a_{2} b_{1} - a_{1} b_{2}} . \end{matrix}

Másrészt (2) és (5)-ből

\begin{matrix} a_{1} + b_{1} = k a_{1} b_{1}, a_{2} + b_{2} = k a_{2} b_{2} . \end{matrix}

Ezeket felhasználva

x_{M}

és

y_{M}

számlálója így alakítható át:

\begin{matrix} a_{1} a_{2} b_{2} - a_{1} b_{1} a_{2} & = \frac{1}{k} [a_{1} (a_{2} + b_{2}) - (a_{1} + b_{1}) a_{2}] = \frac{1}{k} (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}), \\ b_{1} b_{2} a_{2} - b_{1} a_{1} b_{2} & = \frac{1}{k} [b_{1} (a_{2} + b_{2}) - (a_{1} + b_{1}) b_{2}] = \frac{1}{k} (a_{2} b_{1} - a_{1} b_{2}) . \end{matrix}

Így azt nyertük, hogy

\begin{matrix} x_{M} = \frac{1}{k}, y_{M} = \frac{1}{k} . \end{matrix}

Az egyszerűsítés megengedett volt, mert ha

\begin{matrix} a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = a_{1} a_{2} (\frac{b_{2}}{a_{2}} - \frac{b_{1}}{a_{1}}) \end{matrix}

0 volna, ez azt jelentené, hogy

b_{2} / a_{2} = b_{1} / a_{1}

, tehát a két egyenes párhuzamos, és ez esetben csak úgy lehetne a tengelyekből lemetszett részek reciprok értékeinek az összege egyenlő, ha

e_{2}

azonos lenne

e_{1}

-gyel. Eszerint a metszéspont valóban független

e_{1}

-től és

e_{2}

-től, minden a feltételt teljesítő egyenes átmegy az állandó (

1 / k

1 / k

) ponton.
A számításban sehol sem használtuk ki az

a

és

b

metszetek pozitív voltát, ez tehát negatív

a

-val, vagy negatív

b

-vel is érvényes. (Mindkettő nem lehet negatív, mert

k

nyilván pozitív). Azt találtuk tehát, hogy az állítás azokra az egyenesekre is igaz, amelyek a derékszög egyik vagy pedig a másik szárát annak meghosszabbításában metszik, feltéve, hogy a meghosszabbításból lemetszett szakaszt negatív előjellel vesszük.

Szirai József (Nagykőrös, Arany J. g. III. o. t.)

Megjegyzések. 1. Könnyen bebizonyítható, hogy az állítás derékszög helyett tetszés szerinti hegyes vagy tompaszöget véve is igaz, az állandó pont annak a rombusznak negyedik csúcsa, amelyben az oldal hossza

1 / k

, első 3 csúcsa pedig az adott szög csúcsában, ill. a szög egyik-egyik szárán van.

Lehel Jenő (Budapest, Apáczai Csere J. g. III. o. t.)

2. Azok számára, akik ismerik a nomogramokat ¹, megemlítjük, hogy az állítás azt fejezi ki, hogy a derékszög két szára és felezője a (2) kétváltozós kapcsolat (

a_{1}

és

b_{1}

változókkal) pontsoros csillag-nomogramját adja (tükör- és lencsetörvény, ellenállások párhuzamos kapcsolása stb.).

¹Lásd bővebben a következő Középiskolai Szakköri Füzetekben: Kürschák ‐ Hajós ‐ Neukomm‐ Surányi: Matematikai Versenytételek I. (Tankönyvkiadó, Budapest, 1955) 90. o. ‐ Haszpra ‐ Pálmay: Nomogramok (Tankönyvkiadó, Budapest, 1962) 113. o.