A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Legyen a derékszög csúcsa , az (adott) állandó , és messe egy a követelménynek megfelelő egyenes a szárakat -ben, ill. -ben. Ekkor Tükrözzük ábránkat a derékszög felezőjére. Ekkor a derékszög szárai egymásba mennek át. Legyen tükörképének, -nek a , száron levő metszéspontja , ill. . Ekkor nyilván , , így szintén megfelelő egyenes. Eszerint az állításban szereplő (állandó) pont csak és metszéspontja lehet. Ez viszont azonos és metszéspontjával, -mel, mert ez a tükrözéssel önmagába megy át, és így -nek is pontja. Számítsuk ki -nek a száraktól mért távolságát. -nek -en levő vetületét -vel jelölve az és közös hegyes szöggel bíró derékszögű háromszögek hasonlóságából, figyelembe véve, hogy a derékszögű háromszög egyenlő szárú, | | Innen átrendezéssel és (1) figyelembevételével | | állandó, független helyzetétől. Eszerint minden a feltételnek megfelelő egyenes átmegy -nek a száraktól távolságban levő pontján. Ezzel az állítást bebizonyítottuk és az állandó pont helyzetét is meghatároztuk. A felhasznált háromszög mindig létezik, mert nem eshet -be, ‐ különben ugyanis (1)-nek nem volna értelme ‐, és sem eshet -be.
Batizi László (Budapest, Bem J. g. IV. o. t.)
II. megoldás. Vegyük az adott derékszög szárai gyanánt a derékszögű koordinátarendszer két tengelyének pozitív felét és tegyük fel, hogy az egyenlettel jellemzett egyenes megfelel a feltételnek. Ekkor -nek az -tengely pozitív felével való metszéspontja a pont, ahol . Messe az -tengely pozitív felét az abszcisszájú pontban, eszerint egyenletéből -et kiküszöbölhetjük, ugyanis és koordinátáiból . Így az egyenlet | | (3) | (az egyenes egyenletének ún. tengelymetszetes alakja; csak akkor használható, ha az egyenes egyik tengellyel sem párhuzamos és az origón sem megy át). Legyenek egy másik, a követelménynek megfelelő egyenes tengelymetszetei és , ekkor egyenlete
és számítsuk ki és metszéspontjának, -nek koordinátáit. Ha ezeket , , és -től függetlennek találjuk, ezzel az állítást igazoltuk. A (3)-ból és (4)-ből a törtek eltávolításával adódó | | egyenletrendszerből koordinátái | | Másrészt (2) és (5)-ből Ezeket felhasználva és számlálója így alakítható át:
Így azt nyertük, hogy Az egyszerűsítés megengedett volt, mert ha | | 0 volna, ez azt jelentené, hogy , tehát a két egyenes párhuzamos, és ez esetben csak úgy lehetne a tengelyekből lemetszett részek reciprok értékeinek az összege egyenlő, ha azonos lenne -gyel. Eszerint a metszéspont valóban független -től és -től, minden a feltételt teljesítő egyenes átmegy az állandó (, ) ponton. A számításban sehol sem használtuk ki az és metszetek pozitív voltát, ez tehát negatív -val, vagy negatív -vel is érvényes. (Mindkettő nem lehet negatív, mert nyilván pozitív). Azt találtuk tehát, hogy az állítás azokra az egyenesekre is igaz, amelyek a derékszög egyik vagy pedig a másik szárát annak meghosszabbításában metszik, feltéve, hogy a meghosszabbításból lemetszett szakaszt negatív előjellel vesszük.
Szirai József (Nagykőrös, Arany J. g. III. o. t.)
Megjegyzések. 1. Könnyen bebizonyítható, hogy az állítás derékszög helyett tetszés szerinti hegyes vagy tompaszöget véve is igaz, az állandó pont annak a rombusznak negyedik csúcsa, amelyben az oldal hossza , első 3 csúcsa pedig az adott szög csúcsában, ill. a szög egyik-egyik szárán van.
Lehel Jenő (Budapest, Apáczai Csere J. g. III. o. t.)
2. Azok számára, akik ismerik a nomogramokat , megemlítjük, hogy az állítás azt fejezi ki, hogy a derékszög két szára és felezője a (2) kétváltozós kapcsolat ( és változókkal) pontsoros csillag-nomogramját adja (tükör- és lencsetörvény, ellenállások párhuzamos kapcsolása stb.). Lásd bővebben a következő Középiskolai Szakköri Füzetekben: Kürschák ‐ Hajós ‐ Neukomm‐ Surányi: Matematikai Versenytételek I. (Tankönyvkiadó, Budapest, 1955) 90. o. ‐ Haszpra ‐ Pálmay: Nomogramok (Tankönyvkiadó, Budapest, 1962) 113. o. |