Kezdőlap


Feladat:	1170. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Abos I. , Ámon Magdolna , Baróti Gy. , Baróti György , Bellay Ágnes , Benczúr András , Berecz Ágota , Demendy Z. , Draskóczy Judit , Farkas Zoltán , Fazekas P. , Fejéregyházi Sándor , Földeáki Mária , Gálfi László, , Gecsey László , Gerencsér László , Görbe T. , Klukovits Lajos , Lehel J. , Malatinszky G. , Mihályi Zoltán , Nárai György , Naszályi F. , Nováky Béla , Pázmándi László , Sebestyén Zoltán , Seprődi László , Somos Péter , Sonnevend György , Surányi András , Székely Gábor , Szekeres Veronika , Szepesvári István , Szidarovszky Ágnes , Szidarovszky Ferenc , Tamás Géza , Udvary A. , Vadász Péter , Zalán Péter , Zalay M.
Füzet:	1963/március, 113 - 114. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/április: 1170. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Helyettesítsünk az $x + y + z = 0$ összefüggés alapján $z$ helyébe $- (x + y)$ -t és fejezzük ki a fellépő hatványösszegeket $x$ -szel és $y$ -nal:

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} = x^{2} + y^{2} + {(x + y)}^{2} = 2 (x^{2} + x y + y^{2}), \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} x^{3} + y^{3} + z^{3} = x^{3} + y^{3} - {(x + y)}^{3} = - 3 x^{2} y - 3 x y^{2} = - 3 x y (x + y), \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} x^{4} + y^{4} + z^{4} = x^{4} + y^{4} + {(x + y)}^{4} = 2 x^{4} + 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 4 x y^{3} + 2 y^{4} = \end{matrix}

(3)

\begin{matrix} = 2 (x^{4} + 2 x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} + 2 x y^{3} + y^{4}), \end{matrix}

\begin{matrix} x^{5} + y^{5} + z^{5} = x^{5} + y^{5} - {(x + y)}^{5} = (x + y) [x^{4} - x^{3} y + x^{2} y^{2} - \end{matrix}

(4)

\begin{matrix} - x y^{3} + y^{4} - (x^{4} + 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 4 x y^{3} + y^{4})] = \end{matrix}

\begin{matrix} = (x + y) (- 5 x^{3} y - 5 x^{2} y^{2} - 5 x y^{3}) = - 5 x y (x + y) (x^{2} + x y + y^{2}), \end{matrix}

\begin{matrix} x^{7} + y^{7} + z^{7} = x^{7} + y^{7} - {(x + y)}^{7} = (x + y) [x^{6} - x^{5} y + x^{4} y^{2} - \end{matrix}

(5)

\begin{matrix} - x^{3} y^{3} + x^{2} y^{4} - x y^{5} + y^{6} - {(x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3})}^{2}] = \end{matrix}

\begin{matrix} = (x + y) [x^{6} - x^{5} y + x^{4} y^{2} - x^{3} y^{3} + x^{2} y^{4} - x y^{5} + y^{6} - (x^{6} + \end{matrix}

\begin{matrix} + 6 x^{5} y + 15 x^{4} y^{2} + 20 x^{3} y^{3} + 15 x^{2} y^{4} + 6 x y^{5} + y^{6})] = \end{matrix}

\begin{matrix} = (x + y) (- 7 x^{5} y - 14 x^{4} y^{2} - 21 x^{3} y^{3} - 14 x^{2} y^{4} - 7 x y^{5}) = \end{matrix}

\begin{matrix} = - 7 x y (x + y) (x^{4} + 2 x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} + 2 x y^{3} + y^{4}) . \end{matrix}

Az (1) jobb oldalán álló háromtagú kifejezést négyzetre emelve

\begin{matrix} {(x^{2} + x y + y^{2})}^{2} = x^{4} + 2 x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} + 2 x y^{3} + y^{4} . \end{matrix}

(6)

Így (1) és (3)-ból

\begin{matrix} {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{2} = 4 {(x^{2} + x y + y^{2})}^{2} = 2 [2 (x^{4} + 2 x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} + 2 x y^{3} + y^{4})] = \end{matrix}

\begin{matrix} = 2 (x^{4} + y^{4} + z^{4}) . \end{matrix}

Ezzel az

α

) egyenlőséget igazoltuk.
Ha a

β

)-ban nevezőben szereplő hatványösszegek egyike sem 0, akkor a rájuk nyert (1)‐(5) kétváltozós kifejezéseket behelyettesítve a lehetséges egyszerűsítések után az első kéttagú kifejezésben

\begin{matrix} \frac{5}{6} + \frac{7}{6} = 2 \end{matrix}

adódik. A második kifejezésben is egyszerűsíthetünk minden az ismeretleneket tartalmazó kifejezéssel, ha az első törtnél figyelemmel vagyunk (6)-ra is, és

\begin{matrix} \frac{3}{5} + \frac{7}{5} = 2 \end{matrix}

adódik. Ezzel

β

)-t is igazoltuk.
A fellépő nevezők értéke 0, ha

x

y

, vagy

x + y = - z

értéke 0. Ha egyik változó sem 0, akkor

\begin{matrix} x^{2} + x y + y^{2} = {(x + \frac{y}{2})}^{2} + \frac{3 y^{2}}{4} \end{matrix}

sem 0, s így a négyzete sem. A

β

)-ban fellépő törteknek tehát mindig van értelme, ha

x

y

z

egyike sem 0, és csak akkor.
Klukovits Lajos (Szeged, Radnóti M. g. III. o. t)

Megjegyzések. 1. Hasonló szorzatalakokat nyerhetünk a fellépő hatványösszegekre a változók szimmetriájának megbontása nélkül is, csak az

x + y + z = 0

összefüggést használva fel ismételten. Pl.

\begin{matrix} x^{3} + y^{3} + z^{3} = (x^{2} + y^{2} + z^{2}) (x + y + z) - (x^{2} y + x^{2} z + x y^{2} + y^{2} z + x z^{2} + y z^{2}) = \end{matrix}

\begin{matrix} = - (x y + y z + z x) (x + y + z) + 3 x y z = 3 x y z . \end{matrix}

Ezen az úton is eljuthatunk a feladat megoldásához.
Bellay Ágnes (Budapest, Fazekas M. gyak. g. IV. o. t.)

α

)-t igazolhatjuk a változók szimmetriájának megbontása nélkül a két oldal különbségének szorzattá alakításával is:

\begin{matrix} 2 (x^{4} + y^{4} + z^{4}) - {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{2} = x^{4} + y^{4} + z^{4} - 2 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} z^{2} - 2 y^{2} z^{2} = \end{matrix}

\begin{matrix} = x^{4} - 2 x^{2} (y^{2} + z^{2}) + y^{4} + z^{4} - 2 y^{2} z^{2} = {[x^{2} - (y^{2} + z^{2})]}^{2} - 4 y^{2} z^{2} = \end{matrix}

\begin{matrix} = (x^{2} - y^{2} - z^{2} + 2 y z) (x^{2} - y^{2} - z^{2} - 2 y z) = [x^{2} - {(y - z)}^{2}] [x^{2} - {(y + z)}^{2}] = \end{matrix}

\begin{matrix} = (x - y + z) (x + y - z) (x - y - z) (x + y + z) = 0, \end{matrix}

mert az utolsó tényező 0.