A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük a sorozat -adik elemét -val. Az elemek képzésére adott szabály az elemek reciprokaiból alkotott sorozatra ‐ feltéve, hogy nem lép fel a sorozatban a 0 ‐, azt mondja, hogy ebben a sorozatban bármely két elem az előtte és utána állónak számtani közepe: | | (1) | Eszerint a reciprokokból alkotott | | (2) | sorozat számtani sorozat. Különbsége (ha , nem 0) | | (3) | ennek felhasználásával az -edik elem | | Tehát a szóban forgó sorozat -edik eleme Az -edik elemnek a megelőző kettővel való kifejezését úgy kapjuk, ha (1)-ben helyébe -et írunk és megoldjuk -re: A számtani sorozat ismert tulajdonsága, hogy bármely elem nemcsak a szomszédainak számtani közepével egyenlő, hanem a sorozat bármely hozzá képest szimmetrikus helyzetű elempárjának is. Valóban ha , , ,, egy számtani sorozat, és a különbsége, továbbá , akkor | | Ezt a (2) számtani sorozatra alkalmazva | | az állításnak megfelelően.
Szekeres Veronika (Makó, József A. g. III. o. t.)
Megjegyzések. 1. Könnyen megadhatjuk annak feltételét, hogy sorozatunk minden határon túl folytatható legyen. Ennek csak az lehet akadálya, ha a (2) sorozatban fellép a 0 szám. Mármost a , , , számtani sorozatban akkor lép fel tagként a 0 szám: | | vagyis a hányados pozitív egész szám, vagy 0. Így (3) alapján, ha a hányados nem pozitív egész szám, vagy 0, akkor sorozatunk tagjai minden határon túl képezhetők. |