Kezdőlap


Feladat:	1169. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szekeres Veronika
Füzet:	1963/február, 52 - 53. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasabb rendű számtani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/április: 1169. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a sorozat $k$ -adik elemét $a_{k}$ -val. Az elemek képzésére adott szabály az elemek reciprokaiból alkotott sorozatra ‐ feltéve, hogy nem lép fel a sorozatban a 0 ‐, azt mondja, hogy ebben a sorozatban bármely két elem az előtte és utána állónak számtani közepe:

\begin{matrix} \frac{1}{a_{k}} = \frac{1}{2} (\frac{1}{a_{k - 1}} + \frac{1}{a_{k + 1}}), vagy a_{k}^{- 1} = \frac{a_{k - 1}^{- 1} + a_{k + 1}^{- 1}}{2} . \end{matrix}

(1)

Eszerint a reciprokokból alkotott

\begin{matrix} a_{1}^{- 1}, a_{2}^{- 1}, ..., a_{k}^{- 1}, ... \end{matrix}

(2)

sorozat számtani sorozat. Különbsége (ha

a_{1}

a_{2}

nem 0)

\begin{matrix} d = a_{2}^{- 1} - a_{1}^{- 1} = \frac{1}{a_{2}} - \frac{1}{a_{1}} = \frac{a_{1} - a_{2}}{a_{1} a_{2}}, \end{matrix}

(3)

ennek felhasználásával az

n

-edik elem

\begin{matrix} a_{n}^{- 1} = a_{1}^{- 1} + (n - 1) d = \frac{1}{a_{1}} + \frac{(n - 1) (a_{1} - a_{2})}{a_{1} a_{2}} = \frac{(n - 1) a_{1} - (n - 2) a_{2}}{a_{1} a_{2}} . \end{matrix}

Tehát a szóban forgó sorozat

n

-edik eleme

\begin{matrix} a_{n} = \frac{a_{1} a_{2}}{(n - 1) a_{1} - (n - 2) a_{2}} . \end{matrix}

n

-edik elemnek a megelőző kettővel való kifejezését úgy kapjuk, ha (1)-ben

k

helyébe

n - 1

-et írunk és megoldjuk

a_{n}

-re:

\begin{matrix} a_{n} = \frac{a_{n - 2} a_{n - 1}}{2 a_{n - 2} - a_{n - 1}} . \end{matrix}

A számtani sorozat ismert tulajdonsága, hogy bármely elem nemcsak a szomszédainak számtani közepével egyenlő, hanem a sorozat bármely hozzá képest szimmetrikus helyzetű elempárjának is. Valóban ha

b_{1}

b_{2}

...

b_{k}

...

egy számtani sorozat, és

d

a különbsége, továbbá

i < k

, akkor

\begin{matrix} \frac{b_{k - i} + b_{k + i}}{2} = \frac{b_{1} + (k - i - 1) d + b_{1} + (k + i - 1) d}{2} = b_{1} + (k - 1) d = b_{k} . \end{matrix}

Ezt a (2) számtani sorozatra alkalmazva

\begin{matrix} \frac{a_{k - i}^{- 1} + a_{k + i}^{- 1}}{2} = a_{k}^{- 1}, vagyis \frac{1}{a_{k}} = \frac{1}{2} (\frac{1}{a_{k - i}} + \frac{1}{a_{k + i}}), \end{matrix}

az állításnak megfelelően.

Szekeres Veronika (Makó, József A. g. III. o. t.)

Megjegyzések. 1. Könnyen megadhatjuk annak feltételét, hogy sorozatunk minden határon túl folytatható legyen. Ennek csak az lehet akadálya, ha a (2) sorozatban fellép a 0 szám. Mármost a

b_{1}

b_{1} + d

b_{1} + 2 d

...

számtani sorozatban akkor lép fel tagként a 0 szám:

\begin{matrix} b_{k} = b_{1} + (k - 1) d = 0, ha k - 1 = - \frac{b_{1}}{d}, \end{matrix}

vagyis a

- b_{1} / d

hányados pozitív egész szám, vagy 0. Így (3) alapján, ha a

\begin{matrix} - \frac{a_{1}^{- 1}}{\frac{a_{1} - a_{2}}{a_{1} a_{2}}} = \frac{a_{2}}{a_{2} - a_{1}} \end{matrix}

hányados nem pozitív egész szám, vagy 0, akkor sorozatunk tagjai minden határon túl képezhetők.